Fundamental exponents in the theory of algebraic numbers. (Q2604537)

Zunächst leiten die Verf. den schon bekannten Satz auf neuem Wege ab: Ist \(g(x)\) ein Polynom mit \(p\)-adischen Zahlen \(g_i\) als Koeffizienten: \[ g(x)=x^m+x^{m-1}g_1+ \cdots+ g_m, \] und zwar \(g(x)\) Potenz eines im \(p\)-adischen Körper irreduziblen Polynoms, so gilt für die Ordnungszahlen \(\beta_i\) der Koeffizienten \(g_i\): \[ \frac{\beta_m}m = \min \frac{\beta_i}i. \] Ist für irgendein Polynom diese Beziehung erfüllt, so nennen die Verf. mit einem gegen den den sonstigen Sprachgebrauch abweichenden Ausdruck die Zahl \(\dfrac{\beta_m}m\) \(p\)-adische Wurzel für \(x\) von \(f(x)\). Sie beweisen weiter: Das Produkt mehrerer Faktoren derselben \(p\)-adischen Wurzel hat diese Zahl als Wurzel, während das Produkt keine \(p\)-adische Wurzel hat, wenn nicht alle Faktoren dieselbe \(p\)-adische Wurzel oder ein Faktor keine Wurzel hat. Hieraus folgt z. B. ein neuer Beweis des Irreduzibilitätskriteriums von \textit{Perron}. Sei \[ F(x)=x^N + x^{N-1}A_1 + \cdots + A_N \] ein von mehrfachen Wurzeln freies Polynom mit Koeffizienten aus dem natürlichen Zahlkörper, \(f\) ein \(p\)-adisch irreduzibler Faktor von \(F\). Die Verf. betrachten \((\varrho(x))_F\), den reduzierten Rest eines \(p\)-adischen Polynoms \(\varrho(x)\) mod \(F\). Da die Resultante von \(X - (\varrho(x))_f\) und \(f(x)\), als Polynom in \(X\) betrachtet, Potenz eines irreduziblen Polynoms ist, so hat sie eine \(p\)-adische Wurzel, die als Ordnung von \(\varrho(x)\) bezüglich \(f\) bezeichnet wird. Die Worte bezüglich \(f\) wollen wir fortan vielfach weglassen. Unter allen positiven Ordnungen gibt es eine kleinste. Diese wird \(\dfrac en\), wo \(n\) der Grad von \(f\), \(e\) ein Teiler von \(n\) ist. \((\varrho)_f\) nennen die Verf. auf der Ordnung \(\tau\) aufgebaut, wenn die Ordnung \(\geqq \tau\) ist. Bewiesen wird: Heißt \(\{a\}\) für reelles nicht ganzes \(a\) das größte Ganze in \(a\), dagegen \(\{a\} = a + 1\) für ganzes \(a\), so erfüllen die \(p\)-adische Ordnungszahl \(a\) des Koeffizienten von \(x^{N-1}\) in \[ \frac Ff\left(\frac{f\varrho}F\right)_f \] und die Ordnung \(b\) von \(\varrho\) die Beziehung \[ a = \{b\} - (\mu-m). \] Hierbei ist \(\mu\) die Ordnung von \(F'\), \(m\) die größtmögliche Ordnung eines Polynoms mit \(a = 0\). Die Zahl \(m\) erweist sich als endlich. Von der Ordnung bezüglich \(f\) gelangen die Verf. durch Betrachtung der Gesamtheit der \(p\)-adisch irreduziblen Faktoren \(f_1\), \(f_2\), \dots, \(f_r\) von \(F\) zur \(p\)-adischen Ordnungsbasis \((\tau_1, \tau_2, \ldots, \tau_r)\), wofür sie kurz (\(\tau\)) schreiben. \(\tau_i\) ist hierbei die Ordnung bezüglich \(f_i\). \((\varrho)_F\) heißt auf \((\tau\)) aufgebaut, wenn seine Ordnung bezüglich jedes \(f_i\) mindestens gleich der betreffenden Koordinate \(\tau_i\) von \((\tau)\) ist. Sie geben eine Reihe von Sätzen über solche Polynome. Insbesondere befassen sich diese mit der Aufstellung einer Basis für die auf \((\tau)\) aufgebauten Funktionen, d. h. eines Funktionensystems \[ \varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_N, \] so daß jede auf \((\tau)\) aufgebaute Funktion in der Form \[ \sum_{i=1}^N Q_i\varphi_i \] mit den \(Q_i\) als \(p\)-adischen Reihen mit ganzen nichtnegativen Exponenten von \(p\) dargestellt werden kann und umgekehrt jeder solche Ausdruck mit den erwähnten \(Q_i\) ein Polynom ist, das auf \((\tau)\) aufgebaut ist. Weiter zeigen sie die Normalisierung dieser Basisdarstellung. Hierbei wird dann jedes \(\varphi_i\) ein Polynom \((N - 1 - i)\)-ten Grades mit der Eigenschaft, daß der höchste Koeffizient das Maximum \(-\alpha_{N-1-i}\) der \(p\)-adischen Ordnungszahlen aller Koeffizienten des betreffenden Polynoms hat. Wird der Vektor \[ (\alpha_{N-1},\alpha_{N-2}, \ldots, \alpha_0) \] kurz mit \((\alpha)\) bezeichnet, so gilt u. a.: \((\alpha)\) heißt adjungiert (adjoint), wenn jede Koordinate der betreffenden Zahl \(\mu - m - 1 + \dfrac en\) ist. Gilt für zwei Ordnungsbasen \((\tau)\) und \((\bar \tau)\), daß die Summe der beiden Vektoren der Vektor der adjungierten Ordnungsbasis ist (wo dann \((\tau)\) und \((\bar \tau)\) komplementär adjungierte Ordnungsbasen heißen), so gilt für die entsprechenden \((\alpha)\) und \((\bar \alpha)\), daß für jedes \(i\): \(\alpha_{N-i-1} + \bar \alpha_i= 0\) ist. Die Zahl \(\sum \alpha + \sum \tau n\) ist für jede Ordnungsbasis gleich (invariant). Die \(\alpha_i\) nennen übrigens die Verf. Fundamentalexponenten, daher der Titel der Arbeit. Am Schlusse folgen noch einige Sätze für den Fall, daß eine Gesamtheit von Ordnungsbasen bezüglich unendlich vieler Primzahlen \(p\) bei festem Polynom \(F\) (über dem natürlichen Zahlkörper) in Betracht gezogen wird.