Sur les unités d'un corps de nombres algébriques, qui sont soumises à des conditions algébriques. (Q2604538)

Es sei \(K\) eine algebraische Erweiterung vom Grade \(n\) des Körpers \(R\) der rationalen Zahlen, \(K_1 = K\), \(K_2\), \dots, \(K_n\) die konjugierten Körper, darunter \(r_1\) reelle, \(2r_2\) imaginäre, \(r = r_1 + r_2 - 1\). Wir ordnen jeder Zahl \(\alpha\) von \(K\) im Raume \(X_n\) der \(n\) Variablen \(x_1\), \dots, \(x_n\) einen Punkt mit den Koordinaten \(x_i=\alpha^{(i)}\) zu. Wenn eine Zahl aus \(K\) mit ihren Konjugierten einer Anzahl algebraischer Gleichungen \(f_j(\alpha^{(1)}, \ldots,\alpha^{(n)}) = 0\) mit Koeffizienten aus \(R\) genügt, so sagen wir, daß \(\alpha\) zur algebraischen Mannigfaltigkeit \(V\) gehört, die in \(X_n\) durch \(f_j(x_1, \ldots, x_n)=0\) bestimmt wird. Mit diesen und weiteren Begriffen gelangt dann Verf. zu interessanten Theoremen über die Einheiten von \(K\), deren letztes lautet: Hat der zu \(K\) gehörige Normalkörper als \textit{Galois}gruppe die symmetrische Gruppe, oder ist \(K\) vom Primzahlgrad \(n\), so gibt es nur endlich viele Einheiten von \(K\), die einer algebraischen Mannigfaltigkeit der Dimension \(s \leqq n - r - 1\) angehören. Insbesondere folgt daraus, daß die Gleichung \[ N_{K/R}(X_1\omega_1+ \cdots + X_{n-r}\omega_{n-r}) = 1 \quad (\omega_i \;\text{aus} \;K) \] nur endlich viele ganze rationale Lösungen \(X_i\) besitzt. Die Beweise der Sätze finden sich in einer späteren Arbeit des Verf. (Ann. Mat. pura appl., Bologna, (4) 17 (1938), 127-168; JFM 64.0142.*).