Ein neues zahlentheoretisches Symbol mit Anwendung auf die Theorie der quadratischen Zahlkörper. (Q2604541)

Es seien \(a_i \neq 1\) (\(i=1\), 2, 3) relativ prime ungerade quadratfreie ganze Zahlen von der Gestalt \(4l + 1\), und \(a_1\) sei ein quadratischer Rest für einen jeden solchen Primfaktor von \(a_2a_3\), der zu \(a_1\) prim ist. Dann gibt es zwei relativ prime ganze Ideale \(\mathfrak a_2\), \(\mathfrak a_3\) im Körper \(R(\sqrt {a_1})\) mit der Norm \(a_2\), bzw. \(a_3\). Läßt sich \(\mathfrak a_2\) durch Multiplikation mit dem Quadrat eines Ideals in \(R(\sqrt {a_1})\) in ein Hauptideal \(\alpha_2\) verwandeln, so daß \(\alpha_2\) ein (in multiplikativem Sinne) quadratischer Rest mod 4 ist, und ist dabei der Wert von dem 2-ten Potenzrestsymbol \(\left( \dfrac {\alpha_2}{\mathfrak a_3}\right)\) in \(R(\sqrt{a_1})\) von der besonderen Wahl der Elemente \(\mathfrak a_2\), \(\mathfrak a_3\), \(\alpha_2\) unabhängig, so bezeichnet Verf. diesen vom Tripel \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) bestimmten Wert mit \(\{a_1,a_2, a_3\}\). Verf. untersucht die Bedingungen, unter welchen das Symbol \(\{ \ldots\}\) existiert. -- Es gilt z. B. der reziproke Zusammenhang: \(\{a_1, a_2, a_3\} = \{a_2, a_1, a_3\}\). Endlich werden Anwendungen auf die absolute Idealklassengruppe der quadratischen Zahlkörper behandelt.