Note on a result of Siegel. (Q2604558)

Wie Verf. bemerkt, hat \textit{C. L. Siegel} in einem Briefe an \textit{L. J. Mordell} folgenden lange vermuteten Satz bewiesen: Sind \(L_i(\mathfrak x) = L_i(x_1, \ldots,x_n)\) (\(i=1\), \dots, \(n\)) reelle Linearformen mit der Determinante 1 und sind \(c_1\), \dots, \(c_n\) reelle Zahlen, so gibt es einen Gitterpunkt \(\mathfrak x\) mit \[ \prod_{i=1}^n |L_i(\mathfrak x)+c_i| \le \gamma_n, \] wo \(\gamma_n > 0\) nur von \(n\) abhängt. Verf. bringt den Beweis in einer neuen Form (der Beweis stützt sich auf die Betrachtung sukzessiver Minima von konvexen Formen) und bemerkt, daß die Methode sehr einfach auch zum Beweis des folgenden Satzes führt: Es gibt ein nur von \(n\) abhängiges \(\delta_n > 0\) mit folgender Eigenschaft: Zu jedem System von \(n\) reellen Linearformen \(L_i(\mathfrak x)\) mit der Determinante 1 gibt es \(n\) Zahlen \(N_i > 0\) mit \(N_1 \cdots N_n = \delta_n\), so daß das Gebiet \(|L_i(\mathfrak x)| < N_i\) (\(i = 1\), \dots, \(n\)) keinen Gitterpunkt außer dem Nullpunkt enthält. Über den Zusammenhang dieser bemerkenswerten Sätze vgl. \textit{L. J. Mordell} [J. Lond. Math. Soc. 12, 34--36 (1937; Zbl 0015.39002; JFM 63.0152.01)]; vgl. auch \textit{G. Szekeres} [J. Lond. Math. Soc. 12, 36--39 (1937; Zbl 0015.39101; JFM 63.0152.02)] und \textit{Chao Ko} [J. Lond. Math. Soc. 12, 40--47 (1937; Zbl 0015.39102; JFM 63.0152.03)] für den zweiten Satz im Falle \(n = 3\).