Bewijs van een stelling over kettingbreuken. (Q2604561)

Es sei \(\alpha\) eine reelle Zahl mit der Kettenbruchentwicklung \[ \alpha = b_0 + \frac 1{b_1+ \cdots} = (b_0; b_1, b_2, \ldots) \] und den Näherungsbrüchen \[ \frac{p_{-1}}{q_{-1}} = \frac 10, \;\frac{p_0}{q_0}=\frac{b_0}1, \;\frac{p_1}{q_1}= \frac{b_0b_1+1}{b_1}, \ldots \frac{p_n}{q_n} = (b_0;b_1, \ldots,b_n) \qquad (n=1,2, \ldots). \] Ferner sei \(\dfrac pq\) (\(p\) und \(q\) ganz, \(q\geqq 1\)) eine rationale Zahl mit der Eigenschaft \[ \left|\alpha- \frac pq\right| \leqq \frac 1{q^2}. \] Verf. beweist: 1) Es ist \(\dfrac pq\) gleich einem Näherungsbruch oder es ist \(\dfrac pq\) gleich \[ \frac{cp_{n-1}+p_{n-2}}{cq_{n-1}+q_{n-2}} \qquad (c \;\text{ganz}, \;1 \leqq c \leqq b_n-1; \;n \geqq 1). \tag{2} \] 2) Das letztere kann nur vorkommen, wenn \((p, q) = 1\). 3) Falls nicht zugleich \(\alpha = (b_0; \;4)\), \(\dfrac pq= (b_0; \;2)\) können von den Brüchen (2) höchstens die mit \(c = 1\) oder \(c = b_n - 1\) der Ungleichung (1) genügen.