Remarques sur un théorème de MM. Pólya et Szegö. (Q2604583)

Verf. knüpft an den bekannten Satz von \textit{Pólya} und \textit{Szegö} an: Wenn eine Folge mit reellen Gliedern, \(a_1\), \(a_2\), \dots der Bedingung \[ a_{\mu+\nu} \geqq a_\mu+ a_\nu \tag \(^*\) \] für jedes \(\mu\) und \(\nu\) genügt, so strebt die Folge \(\left\{\dfrac {a_n}n\right\}\) gegen einen endlichen Grenzwert oder gegen \(+ \infty\) (\textit{G Pólya}, \textit{G. Szegö}, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, Bd. 1 (1925; F. d. M. 51, 173 (JFM 51.0173.*)), S. 17, Aufgabe 98). Er nennt eine Folge \(\{\alpha_n\}\) quasi-wachsend im weiteren bzw. im strengen Sinn, wenn für jedes \(p\) fast alle Glieder der Ungleichung \(\alpha_n > \alpha_p - \varepsilon\) bei beliebig kleinem \(\varepsilon\), bzw. \(\alpha_n > \alpha_p\) genügen. Er zeigt, daß eine Folge, die \((^*)\) genügt, quasi-wachsend im strengen bzw. im weiten Sinn ist, je nachdem in \((^*)\) das Gleichheitszeichen ausgeschlossen ist oder nicht. Ferner untersucht er Folgen, die den Bedingungen \[ a_{\mu+\nu} \geqq a_\mu+ a_\nu +c_{\mu\nu} \quad (c_{\mu\nu} = c_{\nu\mu}) \] genügen. Er stellt hinreichende Bedingungen für die \(c_{\mu\nu}\) auf, damit die Folge \(\left\{\dfrac{a_n}n\right\}\) nach unten beschränkt ist und gegen \(+ \infty\) oder einen endlichen Grenzwert strebt.