Sur une décomposition effective d'ensembles. (Q2604596)

Ist \(M\) eine Menge der unendlichen Mächtigkeit \(\mathfrak m\), so läßt sich die Menge \(F\) aller Funktionen \(f(m,n)\) (\(m\) und \(n\) Elemente von \(M\)), welche nur die Werte 0 und 1 annehmen, ``effektiv'' zerlegen in eine wohlgeordnete Reihe einer Mächtigkeit \(>\mathfrak m\) von fremden, nichtleeren Mengen. Kann man weiter die Existenz einer wohlgeordneten Menge der Mächtigkeit \(\mathfrak m\) ohne Verwendung des Auswahlaxioms zeigen, so erfolgt dabei der Nachweis dieser Zerlegung in mehr als \(\mathfrak m\) nichtleere Mengen ohne Anwendung des Auswahlaxioms. Mit Hilfe dieses Satzes kann man das Intervall \(0 < x \leqq 1\) und zwar ohne Auswahlaxiom zerlegen in \(\aleph_1\) leere, fremde Mengen, eine Zerlegung, die schon \textit{H. Lebesgue} auf anderem Weg vorgenommen hat. Ferner läßt sich die Menge \(F\) aller Funktionen von zwei reellen Variablen, welche Funktionen nur die Werte 0 und 1 annehmen, in \(\aleph_2\) nichtleere, fremde Mengen zerlegen, und zwar ohne Auswahlaxiom.