Sur deux fonctions d'une suite infinie d'ensembles. (Q2604600)

Es werden Funktionen betrachtet, die einer Folge von Mengen \(E_1\), \(E_2\), \dots wieder eine Menge \(f(E_1, E_2,\ldots)\) zuordnen. Sind weiter \(\varPhi_1\), \(\varPhi_2\), \dots Familien von Mengen, so bezeichnen wir mit \(f(\varPhi_1,\varPhi_2,\ldots)\) die Familie aller Mengen \(f(E_1,E_2,\ldots)\), wenn \(E_i \in \varPhi_i\) für alle \(i\) ist. Dann werden folgende zwei Theoreme gezeigt: I. \(\varPhi\) sei eine Familie der Mächtigkeit \(\alpha\) mit \(\aleph_0\leqq \alpha \leqq \aleph\) von irgendwelchen Mengen; \(\varDelta\) sei eine abzählbare Teilfamilie von \(\varPhi\). Dann existiert eine Funktion \(f(E_1, E_2, \ldots)\) von Mengenfolgen aus \(\varPhi\), so daß \(f(\varDelta, \varDelta, \ldots) = \varPhi\). II. Hier seien die Mengen \(E_1\), \(E_2\), \dots lineare Mengen, etwa von reellen Zahlen. Es gibt dann eine Funktion \(f(E_1,E_2, \ldots)\), welche jeder Felge von linearen Mengen \(E_1\), \(E_2\), \dots eine lineare Menge \(H=f(E_1,E_2, \ldots)\) zuordnet, so daß für jede Familie \(\varPhi\) von einer Mächtigkeit \(\aleph\) von linearen Mengen eine abzählbare Familie \(\varDelta\) von linearen Mengen existiert, so daß \[ f(\varDelta,\varDelta, \ldots)\supset \varPhi. \]