Sur certaines fonctions limites liées aux ensembles fermés de points de l'espace. (Q2604607)

Es sei \(E\) eine abgeschlossene und beschränkte Punktmenge des dreidimensionalen euklidischen Raumes, \(p=(p_0, \ldots, p_n)\) ein System von \(n + 1\) Punkten aus \(E\), \(u\) ein beliebiger Punkt des Raumes; ferner setze man \(p_jp_k =\) Abstand der Punkte \(p_j\), \(p_k\), \[ \begin{matrix} {\begin{matrix} \l \;& \l \\ v_{jk}=\dfrac 1{p_jp_k}- \dfrac 1{up_k} &\text{für} \;j \neq k \\ v_{jk} = 0 & \text{für} \;j =k, \end{matrix} \quad j,k = 0, \ldots, n,} \\ V(u,p) = \sum\limits_{j=0}^n \sum\limits_{k=0}^n v_{jk}, \quad L_n^{(j)}(u,p) = \sum\limits_{k=0}^n v_{jk}, \;C_n^{(k)}(u,p)=\sum\limits_{j=0}^n v_{jk}, \\ {\begin{matrix} \l \\ V_n(u)=\underline{\operatorname{fin}}V(u,p) \\ L_n(u)=\underline{\operatorname{fin}}\max\limits_{(j)} L_n^{(j)}(u,p) \\ C_n(u)=\underline{\operatorname{fin}}\max\limits_{(k)} C_n^{(k)}(u,p), \end{matrix} } \\ \end{matrix} \] wobei die Bildung von \(\underline{\operatorname{fin}}\) in bezug auf veränderliches \(p\) zu verstehen ist. Verf. beweist: Wenn der transfinite Durchmesser \(d(E)\) von \(E\) positiv ist, so konvergieren die Folgen \[ \frac{V_n(u)}{n(n+1)}, \quad \frac{L_n(u)}n, \quad \frac{C_n(u)}n \] für jedes \(u\) im Äußeren von \(E\) gegen endliche Grenzwerte, bei \(d(E) = \infty\) gegen \(\infty\).