A remark on the Peano curve. (Q2604608)

\textit{Lebesgue} hat folgenden Satz bewiesen: Es gibt eine unendliche Folge von Funktionen \(f_n(t)\), definiert und stetig auf \([0,1]\), wobei \(0 \leqq f_n(t) \leqq 1\), mit folgender Eigenschaft: Zu jeder beliebigen Folge reeller Zahlen \((a_k)\), \(0\leqq a_k \leqq 1\) gibt es eine reelle Zahl \(t\), so daß \(f_k(t) = a_k\), \(k=1\), 2, 3, \dots. Verf. gibt einen sehr schönen Beweis. Ist \(x=\varphi(t)\), \(y=\psi(t)\), \(0\leqq t \leqq 1\) die \textit{Peano}kurve, so haben die Funktionen \(f_k(t) = \varphi\psi^{k-1}(t)\) die gewünschten Eigenschaften. (\(\psi^i(t)\) sei die \(i\)-te Iterierte von \(\psi\), \(\psi^0(t) = t\).)