Sur les itérations d'ordre transfini. (Q2604609)

Ist \(f(x)\) eine Funktion der reellen Variablen \(x\), so werden die \(n\)-ten iterierten Funktionen \(f_n(x)\) durch die Festsetzungen \(f_0(x) = x\) und \(f_{n+1}(x) = f(f_n(x))\) definiert. Man kann unter Umständen auch für transfinite Ordnungszahlen \(\alpha\) die Funktionen \(f_\alpha(x)\) wie folgt definieren: Ist \(\alpha = \beta+1\) und existiert \(f_\beta(x)\), so sei \(f_\alpha(x)=f(f_\beta(x))\). Ist \(\alpha\) eine Limeszahl und existieren alle Funktionen \(f_\xi(x)\) für \(\xi< \alpha\) und existiert ferner \(\lim\limits_{\xi<\alpha}f_\xi(x)\) für jedes \(x\), so sei diese Funktion \(=f_\alpha(x)\). (Ist für jede Ordnungszahl \(\xi < \alpha\) eine Zahl \(u_\xi\) definiert und existiert eine Zahl \(u\), so daß für jedes \(\varepsilon > 0\) eine Ordnungszahl \(u(\varepsilon)\) existiert, so daß \(|u-u_\xi|< \varepsilon\) für \(u(\varepsilon) < \xi < \alpha\), so setzt man \(u = \lim\limits_{\xi<\alpha}u_\xi\).) Es ist stets \(f_{\varOmega+1}(x) = f_\varOmega(x)\). Es wird nun ein Beispiel einer Funktion \(f(x)\) angegeben, für welche sämtliche \(f_\alpha(x)\) (\(\alpha\leqq \varOmega\)) existieren und verschieden sind.