Sur la sommation des séries de fonctions orthogonales par des méthodes linéaires. (Q2604662)

Verf. ändert das bekannte \textit{Toeplitz}sche Summationsverfahren mit Hilfe einer Matrix \((a_{ik})\) dadurch ab, daß er verlangt: \(\sum\limits_{k=1}^\infty a_{ik}\) absolut konvergent, \(\lim\limits_{i\to \infty} \sum\limits_{k=1}^\infty a_{ik}=1\), \(\sum\limits_{k=1}^\infty |a_{ik}|< M\) unabhängig von \(i\), und statt \(\lim\limits_{i\to \infty} a_{ik} = 0\) (\(T\)-Verfahren) \(\lim\limits_{i\to \infty}( \max\limits_{1\leqq k < \infty}|a_{ik}|=0\) (\(T'\)-Verfahren). Ähnlich seinen Untersuchungen im Bull. Soc. math. France 64 (1936), 147-170 (JFM 62.1188.*) erhält Verf. folgende Sätze: 1) Zu einem gegebenen \(T'\)-Verfahren kann man ein in \((a,b)\) vorgelegtes Orthonormalsystem \(\{\varphi_n(x)\}\) stets so umordnen, daß \(\sum\limits_{n=1}^\infty c_n\varphi_{\nu_n}(x)\) \(T'\)-summierbar ist fast überall im Intervall \((a,b)\), wenn von den vorgegebenen \(c_n\) nur verlangt wird: \[ \sum_{n=1}^\infty c_n^2 < +\infty \tag \(^*\) \] Zum Beweis wird ein Lemma benutzt, das die Existenz einer wachsenden Folge ganzer \(m_k\) liefert, für die die Abschnittsumme \(\sum\limits_{n=1}^{m_k} c_n\varphi_n(x)\) fast überall im Intervall \((a,b)\) gegen einen endlichen Wert konvergiert, wenn (\(^*\)) erfüllt ist. 2) Jedes unendliche Orthonormalsystem enthält ein unendliches konvergentes Teilsystem \(\psi_n(x)\), d.h. aus (\(^*\)) folgt ohne Umordnung fast überall in \((a,b)\) die Konvergenz von \(\sum\limits_{n=1}^\infty c_n\psi_n(x)\). (Referat nach dem Auszug.)