On mechanical quadratures, in particular, with positive Coefficients. (Q2604666)

Verf. gibt eine umfassende Untersuchung der mechanischen Quadratur und der dazugehörigen Abszissen und Koeffizienten (\textit{Cotes}sche Zahlen), im Anschluß an verschiedene frühere Arbeiten, besonders \textit{Fejér}, Math. Z. 37 (1933), 287-309 (JFM 59.0261.*). Er beginnt damit, den engen Zusammenhang der Quadraturabszissen mit den Nullstellen der zu dem zugrundegelegten Integral gehörenden Orthogonalpolynome (oder linearen Verbindungen daraus) in zahlreichen Einzelergebnissen festzulegen. Z. B. beweist er folgende Verallgemeinerung eines Satzes von \textit{Fejér}: Man betrachte die Quadraturformel \[ \int\limits_a^b f(x)\,d\psi(x)= \sum_{i=1}^n C_if(c_i)+R_n(f) \] mit \[ C_i= \int\limits_a^b \frac{\omega_n(x)d\psi(x)}{(x-c_i)\omega_n'(c_i)} \quad \text{und} \quad \omega_n(x) =\prod_{i=1}^n (x-c_i). \] Ist \(f(x)\) ein beliebiges Polynom eines Grades \(\leqq 2n-1\), so verschwindet der Rest \(R_n(f)\). Dann und nur dann sind alle \(C_i\) positiv, wenn alle Abszissen \(c_i\) im Inneren von \((a,b)\) liegen. Das ist z. B. der Fall, wenn \(\omega_n(x)\) die Gestalt \[ \omega_n(x) = \varPhi_n(x) + A_1\varPhi_{n-1}(x)+A_2\varPhi_{n-2}(x) \quad (A_2 < 0) \] hat, wobei die \(\varPhi_i(x)\) die zu \(d\psi(x)\) und dem Intervall \((a,b)\) gehörenden normierten Orthogonalpolynome sind. (Theorem VI und VII; der Fall, daß gewisse der \(c_i\) links von \(a\) bzw. rechts von \(b\) liegen, wird auch erledigt.) Bei den Quadraturen vom ``\textit{Fejér}schen Typ'', d. h. mit positiven \textit{Cotes}schen Zahlen, wird die Konvergenz genauer untersucht. Wenn die Abszissen alle im Integrationsintervall liegen, konvergiert die Formel für jedes beschränkte \(f(x)\), wenn nur \(\int\limits_a^b f(x)\,d\psi(x)\) existiert (Theorem X). Weiterhin gibt Verf. verschiedene Darstellungen des Restes \(R(f)\) durch die Ableitungen oder -- bei analytischem \(f(x)\) -- durch ein Randintegral, sowie eine genauere Betrachtung des Falles \[ d\psi(x) = p(x)\,dx \] (\(p(x)\) eine \(S\)-Funktion, vgl. dazu z.B. \textit{Shohat}, Mém. Sci. math. 64 (1934); JFM 60.1037.*, und zwar S. 55 f.). Man kann hier bekannte asymptotische Eigenschaften der Orthogonalpolynome verwenden und über die Konvergenz der Quadraturformel und den Rest weitergehende Aussagen machen. Den Abschluß bilden Erörterungen über die \textit{Cotes}schen Zahlen beim ``\textit{Fejér}schen Typ'', vor allem der Beweis einiger von \textit{Tschebyscheff} herrührenden Ungleichungen für die \(C_i\) und des folgenden Satzes: Ist bei endlichem Integrationsintervall die Quadraturformel konvergent, so streben entweder alle \(C_i\) bei wachsendem \(n\) gegen Null, oder die Belegungsfunktion \(\psi(x)\) hat im Intervall Unstetigkeiten. Als Anhang ist eine kurze Behandlung der Frage, wann lineare Verbindungen von Orthogonalpolynomen \[ \omega_n(x) = \varPhi_n(x)+ A_1\varPhi_{n-1}(x)+ \cdots + A_{k-1}\varPhi_{n-k+1}, \;n = 0, 1, 2, \ldots \] wieder ein Orthogonalsystem bilden, angeschlossen.