Sur quelques séries à coefficients récurrents. (Q2604684)

Die Zahlenfolge \(u_n\) \((n = 0,1,\ldots)\) genüge der linearen Rekursionsformel der Ordnung \(p\) \[ u_{n+p}+a_1u_{n+p-1}+\cdots+a_pu_n=0 \tag{1} \] mit konstanten Koeffizienten \(a_1,\ldots, a_p\). Dann stellt die Potenzreihe \[ f(z) = u_0 + u_1z+\cdots+ u_nz^n + \cdots \tag{2} \] eine rationale Funktion dar. Das Umgekehrte gilt ebenfalls. Ein ähnlicher Sachverhalt liegt, wie Verf. zeigt, bei \textit{Laurent}reihen, trigonometrischen Reihen und \textit{Faber}reihen vor. Beispielsweise gilt: Es sei \(\mathfrak G\) ein einfach zusammenhängendes Gebiet mit stückweise analytischer Randkurve. Damit eine zu \(\mathfrak G\) gehörige \textit{Faber}reihe \[ u_0 + u_1P_1(z) + \cdots + u_nP_n(z)+\cdots \tag{3} \] eine in \(\mathfrak G\) reguläre rationale Funktion darstellt, ist notwendig und hinreichend, daß die Koeffizienten \(u_n\) von einer Stelle an einer Rekursionsformel der Form (1) genügen, deren charakteristische Gleichung \[ x^p+a_1x^{p-1}+\cdots+a_p=0 \tag{4} \] nur Wurzeln hat, die dem Betrag nach 1 nicht übersteigen. Nun werde (1) ersetzt durch \[ u_{n+1}=\varphi(u_n). \tag{5} \] Dabei soll \(\varphi\) an einer Stelle \(\zeta\) mit \(\zeta=\varphi(\zeta)\) regulär und \(|\alpha|\leqq 1\) sein, wenn \(\alpha =\varphi'(\zeta)\) gesetzt ist, und es soll \(u_0\) hinreichend nahe bei \(\zeta\) liegen und \(u_n \to \zeta\) streben. Für \(0 < |\alpha| <1\) ist nach \textit{P. Fatou} und \textit{S. Lattès} (C. R. Acad. Sci., Paris, 150 (1910), 1106-1109,1413-1415; Ann. Fac. Sci. Toulouse sci. math. sci. phys. (3) 3 (1910), 73-124; F. d. M. 41, 284 (JFM 41.0284.*)-286; 43, 517-518) \(f(z)\) meromorph, vom Geschlecht 0 und hat die Pole 1, \(\dfrac{1}{\alpha}\), \(\dfrac{1}{\alpha^2}\ldots\). Im Fall \(\alpha= 0\), \(\zeta = 0\) kommt Verf. zu dem Ergebnis, daß \(f(z)\) eine ganze Funktion vom Geschlecht 0 ist. Im Fall \(\alpha=e^{i\vartheta}\) (\(\vartheta\) und \(\pi\) inkommensurabel) läßt sich vermuten, daß \(f(z)\) im allgemeinen eine im Einheitskreis reguläre, aber darüber hinaus nicht fortsetzbare Funktion ist. In einem Sonderfall wird gezeigt, daß dieser Fall tatsächlich eintritt. Weiter werden Rekursionsformeln der Ordnung \(h >1\) betrachtet. Es sei etwa \(h = 3\): \[ u_{n+3}=\varphi(u_n,u_{n+1},u_{n+2}), \qquad \zeta=\varphi(\zeta,\zeta,\zeta), \] \(u_{n+3}-\zeta=-a_1(u_{n+2}-\zeta)-a_2(u_{n+1}-\zeta)-a_3(u_n-\zeta)+\) Glieder höherer Ordnung. Unter gewissen Voraussetzungen über die Anfangswerte \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\) und über die Wurzeln der Gleichung \(x^3+ a_1x^2+a_2x+a_3=0\) ist nach \textit{Lattès} \(f(z)\) meromorph. Darüber hinaus zeigt Verf., daß sich \(f (z)\) als Quotient zweier ganzer Funktionen \(G_1(z)\) und \(G_2(z)\) darstellen läßt, wobei (für allgemeines \(h\) formuliert) \[ |G_{\nu}(z)| < e^{k_{\nu}(\log|z|)^{h+1}} \qquad (\nu=1,2) \] ist (\(k_1\), \(k_2\) konstant). Zum Schluß werden die erhaltenen Ergebnisse ausgedehnt auf den Fall, daß die \(u_n\) in (5) die Koeffizienten der \textit{Faber}reihe (3) einer Funktion \(f(z)\) sind.