Die Kreis- und Hyperbelfunktionen als Flächenfunktionen. (Q2604742)

Verf. beabsichtigt, die trigonometrischen und Hyperbelfunktionen gleichzeitig zu definieren und geht dabei aus von der Aufgabe: Gegeben sei der einteilige Mittelpunktskegelschnitt mit Mittelpunkt im Ursprung, bezogen auf zwei konjugierte Durchmesser: \[ x_1^2 + \varepsilon x_2^2 = r^2 \] und auf ihm drei Punkte \(P, Q\) und \(\overline{P}\); gesucht ist ein Kurvenpunkt \(\overline{Q}\) so, daß nach Größe und Umlaufsinn \(\varDelta O\overline{P}\,\overline{Q}= \varDelta OPQ\) ist. Er zeigt nicht nur, daß der gesuchte Punkt einfach zu konstruieren ist, sondern auch, daß der Inhalt eines solchen Dreiecks \(OPQ \) nur vom Inhalt des zugehörigen Sektors abhängig ist. Daher kann er nun die doppelten Inhalte zweier in gewisser Weise zusammenhängenden Dreiecke als den Sinus bzw. Kosinus des Sektors \(OPQ\) definieren und erhält daraus nicht nur die bekannte Beziehung \(C^2\varphi + \varepsilon S^2\varphi = 1\), sondern auch die Additionstheoreme und durch Grenzübergang die Differentialquotienten und die bekannten Darstellungen von \(C\varphi\) und \(S\varphi\) als Potenzen von \(e\).