Asymptotische Darstellungen und geometrische Optik. (Q2604764)

Es handelt sich um ein zweidimensionales (zylindrisches) Beugungsproblem; in der Ebene ausgesprochen: Punktförmige Lichtquelle \(A\) gegen beugende Kreislinie um \(O\) vom Radius \(a\); \(OA = R\), \(OB = r\) (\(B\) Aufpunkt). Zur Aufstellung des Feldes in \(B\) wird die primäre Welle, die durch eine \textit{Hankel}sche Funktion von \(AB = \varrho\) gegeben ist, nach \textit{Bessel}schen \(J_m (r)\) bzw. \textit{Hankel}schen Funktionen \(H_m^{(1)}(r)\) entwickelt, und anschließend durch Überlagerung mit einer sekundären Welle (in Reihendarstellung) die Randbedingung befriedigt. Es handelt sich um die Diskussion dieser Lösung für große \(a\), \(r\), \(R\). Zunächst wird kurzerhand durch Ersetzung des Index \(m (= 0, \pm1, \pm 2, \ldots)\) durch eine kontinuierliche Veränderliche \(p\) zu einem Integral übergegangen; durch Residuenbetrachtung kann man sich hinterher über den dabei begangenen Fehler Rechenschaft ablegen. Zur asymptotischen Untersuchung des nun vorliegenden Integrals wird die Sattelpunktsmethode herangezogen. Bei der Aufsuchung der Sattelpunkte (bei der bereits der Integrand durch \textit{Debye}sche Näherungen ersetzt wird) kommt man auf Fallunterscheidungen für die Lage von \(B\), die einfache Deutungen im Sinne der geometrischen Optik zulassen; die ersten Näherungen selbst führen dann z. B. auf den primären bzw. den an der Kreislinie reflektierten Strahl. Liegt jedoch \(B\) im Gebiet des geometrischen Schattens, so liefert die Residuenbetrachtung eine konvergente Reihe (keine Sattelpunkte!), deren Einfluß in den anderen Fällen zu vernachlässigen ist. (V 8.)