Beitrag zur Theorie der konfluenten hypergeometrischen Funktionen von mehreren Veränderlichen. (Q2604769)

Es handelt sich um eine systematische Untersuchung über zwei von \textit{P. Humbert} (Proc. R. Soc. Edinburgh, 41 (1920), 73-96; F. d. M. 47, 930 (JFM 47.0930.*)) eingeführte Reihen: \[ \varPhi_2(b, b';c;x,y)=\sum_{m=0}^\infty\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(b)_m(b')_n}{(c)_{m+n}}\dfrac{x^m}{m!}\dfrac{y^n}{n!} \] und \[ \varPsi_2(a; c,c';x,y)=\sum_{m=0}^\infty\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(a)_{m+n}}{(c)_{m}(c')_n}\dfrac{x^m}{m!}\dfrac{y^n}{n!}, \] wo \[ (c)_n=\dfrac{\varGamma(c+n)}{\varGamma(c)}\quad (n = 0, 1, 2, \ldots), \] und über die entsprechenden Gebilde mit \(n\) Veränderlichen. Diese Reihen stellen eine natürliche Verallgemeinerung der \textit{Kummer}schen Reihe und der \textit{Whittaker}schen Funktionen \(M_{k,m}(z)\) und \(N_{k,m}(z)\) dar. Als Hilfsmittel für seine Untersuchung verwendet Verf. hauptsächlich die mehrdimensionale \textit{Laplace}-Transformation, deren wichtigste Rechenregeln zusammen mit den Haupteigenschaften der \textit{Kummer}schen Reihe und der Funktionen \(M_{k, m}\) und \(N_{k, n}\) in einer kurzen ``Einleitung'' übersichtlich zusammengestellt werden. Es folgen zwei Abschnitte, bei denen Verf. eine Menge von interessanten Ergebnissen über die Funktionen \(\varPhi\) und \(\varPsi\) (Additionstheoreme, Integraldarstellungen, Faltungseigenschaften, Differentialgleichungen usw.) erhält; Ergebnisse, die meistens ähnliche Eigenschaften der \textit{Kummer}schen Reihe oder der \textit{Whittaker}schen Funktionen verallgemeinern. Bei der Fülle der entsprechenden Formeln ist sehr zu begrüßen, daß Verf. keine Vollständigkeit anstrebt (was leicht zu einem Formellabyrinth geführt hätte), sondern nur die Formeln herleitet, welche ihm am besten geeignet scheinen, eine Idee der Tragweite der angewandten Methoden und der damit erreichbaren Resultate zu geben. Der dritte und letzte Abschnitt ist dem Fall gewidmet, in dem die Reihen \(\varPhi\) oder \(\varPsi\) abbrechen. Die dadurch entstehenden Polynome weisen -- besonders im Falle der Reihe \(\varPhi\) -- eine große Ähnlichkeit mit den \textit{Laguerre}schen Polynomen auf und werden daher vom Verf. als \textit{Laguerresche Polynome von \(n\) Veränderlichen} bezeichnet. Sie befriedigen folgendes partielle Differentialgleichungssystem: \[ \sum_{k=1}^nx_k\dfrac{\partial^2L}{\partial x_j\partial x_k}+ (\alpha +1-x_j)\dfrac{\partial L}{\partial x_j}+m_jL=0, \quad j = 1,2, \ldots,n, \] wo \(\alpha, m_1, m_2, \ldots, m_n\) die \(n +1\) Parameter sind, von denen -außer den Veränderlichen \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) -- das betrachtete Polynom \(L\) abhängt.