On the sequences of linear operations. (Q2604787)

In einem regulären halbgeordneten Raum \(X\) gibt es die \((t)\)- und die \((o)\)-Konvergenz (vgl. \textit{L. Kantorovič}, Rec. math., Moscou, (2) 2 (1937), 121-168; JFM 63.0353.*). Eine Menge \(E \in X\) heißt \((t)\)- bzw. \((o)\)-beschränkt, wenn für alle \(\lambda_n\to 0\) und alle \(x_n\in E\) stets \(\lambda_nx_n\to0\) im Sinne der \((t)\)- bzw. \((o)\)-Konvergenz gilt. Lineare Operationen eines Raumes \(X\) in einen Raum \(Y\) gehören zur Klasse \(H_t^t\) bzw. \(H_o^o\), je nachdem sie \((t)\)- bzw. \((o)\)-konvergenzerhaltend sind. Eine Folge \(U_n\) von Operationen aus \(H_t^t\) bzw. \(H_o^o\) heißt \((t)\)- bzw. \((o)\)-beschränkt, wenn die Summe \(\sum\limits _n U_n(E)\) der Bilder jeder \((t)\)- bzw. \((o)\)-beschränkten Menge wieder \((t)\)- bzw. \((o)\)-beschränkt ist. Es wird bewiesen, daß eine Folge \(U_n\) aus \(H_t^t\) dann und nur dann \((t)\)-beschränkt ist, wenn für jedes \(x \in X\) die Menge \(\{U_n(x)\}\) \((t)\)-beschränkt ist. Ist ferner \(Y\) vollständig bezüglich der \((t)\)-Konvergenz, so folgt aus der \((t)\)-Konvergenz einer \((t)\)-beschränkten Folge \(U_n(x)\) aus \(H^t_t\) auf einer in \(X\) dichten Menge \(D\) die \((t)\)-Konvergenz von \(U_n(x)\) für alle \(x \in X\). Ein ähnliches Ergebnis für die \((o)\)-Konvergenz.