Some theorems on the almost everywhere convergence. (Q2604788)

Die Ergebnisse der vorstehend besprochenen Note werden hier angewendet zum Beweise folgender Sätze: 1) Ist \(x (t)\) eine Funktion aus \(L^p\), so konvergieren die Differentialquotienten der primitiven Funktionen \(\dfrac{1}{|J|}\int\limits_J x(t) dt\) für \(|J| \to0 \) (\(J\) ein Intervall um den Punkt \(s\)) fast überall gegen \(x(s)\). 2) Folgende Verallgemeinerung eines Satzes von \textit{Rademacher} (Math. Ann., Leipzig 87 (1922), 112-138; F. d. M. 48, 485 (JFM 48.0485.*)) und \textit{Menchoff} (Fundam. Math., Warszawa, 4 (1923), 82-105; F. d. M. 49, 293 (JFM 49.0293.*)): \(\varphi_i(t)\) sei ein System normierter Orthogonalfunktionen im Intervall \((a, b)\). Durch \(U_n(x) =\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{a_k}{1+\log_2k}\varphi _k\) wird der \textit{Hilbert}sche Raum der \(x = (a_1, a_2, \ldots)\) in \(L^2\) abgebildet. Es wird gezeigt, daß die Folge der \(U_n (x)\) für jedes \(x\) fast überall in \(L^2\) konvergiert.