Über die Differentialgleichung \(y'' = f(x, y, y')\). (Q2604846)

Ist die rechte Seite der Differentialgleichung \[ y''= f(x, y, y') \tag{1} \] in einem Gebiet \(\mathfrak B(x,y)\) bei beliebigem \(y'\) definiert, so kann es schon bei sehr einfachen Gleichungen, z. B. \(y''= 2y^3\), vorkommen, daß eine Integralkurve nicht den Rand von \(\mathfrak B\) erreicht, sondern im Innern von \(\mathfrak B\) endigt. Verf. zeigt nun: I. Es sei \(\mathfrak B\) ein Gebiet in der \(x\), \(y\)-Ebene, \(\mathfrak B^*\) der Zylinder \[ x, y\;\text{in}\;\mathfrak B,\quad -\infty < z < +\infty. \] Ist \(f(x,y,z)\) in \(\mathfrak B^*\) stetig und \[ |f(x,y,z)|\leqq \varphi(|z|), \] wo \(\varphi(u)\) eine stetige Funktion von \(u\geqq 0\) und \[ \int\limits_0^\infty \dfrac{u du}{\varphi(u)} = +\infty \] ist, so kann jede Integralkurve von (1) nach beiden Seiten bis an den Rand von \(\mathfrak B\) fortgesetzt werden. II. Lösbarkeit einer Randwertaufgabe. Es sei \(\mathfrak B\) der Bereich \[ a\leqq x\leqq b,\quad \underline{\omega}(x)\leqq y\leqq \overline{\omega}(x); \] dabei sollen \(\underline\omega\), \(\overline\omega\) zweimal differenzierbar sein und die Ungleichungen \[ \underline{\omega}(x)< \overline{\omega}(x),\quad \underline{\omega}''> f(x,\underline{\omega},\underline{\omega}'),\quad \overline{\omega}''< f(x,\overline{\omega},\overline{\omega}') \] erfüllen. Ferner möge \(f\) stetige partielle Ableitungen nach \(y\) und \(z\) haben und die Voraussetzungen von I erfüllen. Dann gibt es durch je zwei Punkte der linken bzw. rechten Randstrecke von \(\mathfrak B\) mindestens eine Integralkurve von (1), welche die beiden Punkte verbindet.