Sur certaines familles de courbes en relation avec la théorie des équations différentielles. (Q2604849)

In einer früheren Arbeit (Ann. Soc. Polonaise Math. 14 (1936), 1-73; JFM 62.1415.*) sind alle lokalen topologischen Eigenschaften, welche bisher für die Charakteristiken gewöhnlicher Differentialgleichungen \(Y(x,y)dx - X(x,y)dy=0\) mit stetigen \(X\), \(Y\) bekannt waren, als Eigenschaften gewisser ebener, durch einfache geometrische Axiome gekennzeichneter Kurvennetze erkannt worden. Jetzt wird eine ähnliche, dem Fall von Systemen \[ \dfrac{dy_\nu}{dx} = f_\nu(x, y_1, \ldots, y_n),\quad \nu =1, \ldots, n \tag{1} \] mit stetigen \(f_\nu\) entsprechende Untersuchung im (euklidischen) \(R_{n+1}\) der \(x, y_1, \ldots, y_n\) durchgeführt. Dabei zeigen aber für \(n\geqq2\) die Charakteristiken von (1) Eigenschaften (vgl. weiter unten (A) usw.), welche nicht mehr allein aus den oben erwähnten (für den \(R_{n+1}\) entsprechend verallgemeinerten) Axiomen folgen. Im einzelnen handelt es sich um folgendes: Es sei \(\mathfrak S\) der durch \(a\leqq x \leqq b\) gekennzeichnete Streifen des \(R_{n+1}\). Unter einer \(\mathfrak S\) \textit{in vollständigen Bogenfamilie} \(\mathfrak F\) verstehe man eine Menge von Bogen (d. h. topologischen Streckenbildern), sogenannten \(\mathfrak F\)-\textit{Bogen}, welche nachstehenden Axiomen genügen: (1) Jeder \(\mathfrak F\)-Bogen liegt ganz in \(\mathfrak S\), hat mit jeder in \(\mathfrak S\) enthaltenen Hyperebene (\(x =\) konst.) höchstens einen Punkt gemeinsam, und durch jeden Punkt von \(\mathfrak S\) geht mindestens ein \(\mathfrak F\)-Bogen, welcher die Hyperebenen \(x = a\) und \(x = b\) miteinander verbindet; (2) Mit \(L\) ist auch jeder Teilbogen von \(L\) ein \(\mathfrak F\)-Bogen; ferner ist die Summe zweier \(\mathfrak F\)-Bogen wieder ein \(\mathfrak F\)-Bogen, wenn beide Bogen einen, etwa in \(x = c\) liegenden, Endpunkt gemeinsam haben und durch diese Hyperebene \(x = c\) voneinander getrennt werden; (3) Ist \(\{P_\varrho\}\) eine beschränkte Folge von Punkten aus \(\mathfrak S\) und \(L_\varrho\) ein \(P_\varrho\) enthaltender \(\mathfrak F\)-Bogen, dann enthält \(\{L_\varrho\}\) eine Teilfolge von \(\mathfrak F\)-Bogen, welche entweder gegen einen Punkt oder gegen einen \(\mathfrak F\)-Bogen konvergiert. -- Aus diesen Axiomen folgt nicht, wie durch ein Gegenbeispiel gezeigt wird, die (von \textit{H. Kneser} gefundene) Eigenschaft (der Charakteristiken eines Systems (1)): (A) Der Durchschnitt der \(\mathfrak F\)-Emission \(E(K)\) eines in \(\mathfrak S\) enthaltenen Kontinuums \(K\) mit irgend einer in \(\mathfrak S\) enthaltenen Hyperebene ist ein Kontinuum. (Kontinuum = nicht leere, abgeschlossene, zusammenhängende Punktmenge). Dabei verstehe man unter \(E(K)\) die Menge aller zu \(\mathfrak S\) gehörigen Punkte, welche auf \(\mathfrak F\)-Bogen liegen, die durch die Punkte von \(K\) gehen. -- Ist (A) für alle einpunktigen Kontinua erfüllt, so für alle Kontinua (die in \(\mathfrak S\) liegen) überhaupt. Dabei ist, wie auch im folgenden stets, ein vollständiges Bogensystem \(\mathfrak F\) zugrundegelegt. -- Mit (A) äquivalent ist die folgende (Verallgemeinerung einer von \textit{Fukuhara} gefundenen) Eigenschaft (der Charakteristiken von (1)); (B) Ist \(K\) ein beschränktes, in \(\mathfrak S\) enthaltenes Kontinuum, so kann jeder auf der Begrenzung \(E_b(K)\) von \(E(K)\), aber nicht auf \(K\) selbst gelegene Punkt mit \(K\) verbunden werden durch einen auf \(E_b(K)\) gelegenen \(\mathfrak F\)-Bogen. -- Aus (A) bzw. (B) folgt die (von \textit{Ważewski} für die Charakteristiken von (1) gefundene) Eigenschaft: (C) Ist \(K\) ein beschränktes Kontinuum, welches einer in \(\mathfrak S\) enthaltenen Hyperebene \(H\) angehört, ist ferner \(P\) ein nicht im ``Außenbereich'' von \(K\) bezüglich \(H\) gelegener, zu \(K\) fremder Punkt von \(H\), dann ist der Durchschnitt \(E(P)\cdot H'\) von \(E(P)\) mit einer beliebigen, in \(\mathfrak S\) gelegenen Hyperebene \(H'\) fremd zum Außenbereich von \(E(K)\cdot H'\) bezüglich \(H'\). Unter dem ``Außenbereich'' von \(K\) bezüglich \(H\) ist dabei verstanden die Menge aller Punkte von \(H\), welche in zu \(K\) fremden, \textit{nicht} beschränkten, in \(H\) gelegenen Kontinuen enthalten sind. Ob (A) aus (C) folgt, ist noch nicht geklärt. Jedenfalls folgt (C) nicht aus (1), (2), (3). -- Schließlich wird eine notwendige und hinreichende Bedingung angegeben dafür, daß durch jeden Punkt von \(\mathfrak S\) \textit{genau} ein, \(x = a\) mit \(x = b\) verbindender, \(\mathfrak F\)-Bogen geht.