Sur les ensembles de condensation des caractéristiques d'un système d'équations différentielles ordinaires. (Q2604852)

Für das System \[ x'(t) = x(1 - x^2 - y^2) - y,\quad y'(t) = y(1 - x^2 - y^2) + x \] ist bekanntlich der Einheitskreis Grenzcharakteristik und der Nullpunkt singulärer Punkt; die im Einheitskreis gelegenen Charakteristiken münden mit dem einen Ende in den Nullpunkt und winden sich mit dem andern Ende spiralig an den Einheitskreis heran. I. Durch konforme Abbildung dieser Figur wird gezeigt, daß es für jedes einfach zusammenhängende Gebiet \(\mathfrak G\), das nicht die ganze Ebene ist, Differentialgleichungen \[ x'=U(x, y),\quad y'=V(x,y) \] mit folgenden Eigenschaften gibt: \(U\) und \(V\) sind beliebig oft stetig differenzierbar, \(U = V = 0\) gilt für genau einen Punkt \(x_0\), \(y_0\) von \(\mathfrak G\), und jede Charakteristik mündet mit dem einen Ende in \(x_0\), \(y_0\) ein, während für das andere Ende jeder Punkt von \(\mathfrak G\) Grenzpunkt ist. II. Indem man nun die \(x, y\)-Ebene samt diesen Charakteristiken um eine passend gewählte Gerade der \(x, y\)-Ebene dreht, kann man zu einem System \[ x'= A(x, y, z),\quad y' = B(x, y, z),\quad z' = C(x, y, z) \] gelangen, das folgende Eigenschaften hat: \(A, B, C\) haben im ganzen Raum stetige partielle Ableitungen jeder Ordnung; überall ist \(A^2 + B^2 + C^2 > 0\); es gibt unendlich viele Charakteristiken mit gemeinsamer Menge \(\varPhi\) ihrer Grenzpunkte; kein Charakteristikenpaar, das nur aus Punkten von \(\varPhi\) besteht, kann durch eine in \(\varPhi\) verlaufende \textit{Jordan}-Kurve verbunden werden; \(\varPhi\) teilt den Raum in beliebig viele getrennte Gebiete; \(\varPhi\) hat ein positives räumliches Maß, falls \(A\), \(B\), \(C\) nicht analytisch sind.