On the dynamics of symmetrical flight of an aeroplane. (Q2604854)

Es wird die Bewegung eines Flugzeugs in einer Vertikalebene bei abgestelltem Motor und unveränderlichem Anstellwinkel \(\beta\) untersucht bei Zugrundelegung der Bewegungsgleichungen in der Form \[ \dfrac{dy}{d\tau}=-ay^2-\sin\varphi, \quad y\dfrac{d\varphi}{d\tau}=y^2-\cos\varphi; \tag{1} \] \(\tau\) ist hierin proportional zu der Zeit \(t\), \(y\geqq0\) proportional zu der Geschwindigkeit des Flugzeugschwerpunktes \(S\); \(\varphi\) ist die Neigung des Geschwindigkeitsvektors in \(S\) gegen den Horizont, die Konstante \(a\) ist dem Widerstand proportional. Aus (1) folgt \[ \dfrac{dy}{d\varphi}=\dfrac{y(\sin\varphi+ay^2)}{\cos\varphi-y^2}. \tag{2} \] Hierin werden \(y\) und \(\varphi\) als Koordinaten auf einem Zylinder von festem Radius gedeutet; wegen \(y\geqq0\) interessiert nur die obere Hälfte des Mantels. Der Verlauf der Integralkurven von (2) wird aus dem Charakter der singulären Stellen der Differentialgleichung ermittelt. Im Falle \(a\neq0\) \((0 < a < \infty)\) sind von den drei festen singulären Stellen zwei Sattelpunkte, die dritte ist ein Strudelpunkt. Außer dem Breitenkreis \(y=0\), auf dem die Sattelpunkte liegen, existieren keine geschlossenen Lösungen. Aus der Verteilung der \(t\)-Werte längs der Integralkurven von (2) ergeben sich Aussagen über die möglichen Flugbewegungen; insbesondere geht jede nicht-stationäre Bewegung asymptotisch in eine stationäre über (deren Bild der Strudelpunkt ist), nämlich in einen geradlinigen Flug unter dem Winkel -- \(\beta\) gegen den Horizont. \textit{Im Falle} \(a = 0\) ist (2) integrabel; als singuläre Stellen hat man zwei Sattelpunkte und einen Wirbelpunkt, und alle Integralkurven außer einer sind für \(y\geqq 0\) geschlossen. Die Kurven in der Umgebung des Wirbelpunktes lassen sich auf einen Punkt zusammenziehen; ihnen entsprechen Wellenbewegungen längs einer horizontalen Geraden. Die übrigen Integralkurven lassen sich auf dem Zylinder nicht auf einen Punkt zusammenziehen; sie sind Bilder von schleifenförmigen Bewegungen.