Sul calcolo effettivo del periodo in un caso tipico di prima approssimazione. (Q2604872)

Ist \(F(x)\) samt \(F'(x)\) im Intervall \(a\leqq x\leqq b\) stetig, \(F(a) = F(b) = 0\), \(F(x)>0\) für \(a < x < b\), \(F'(a) \neq 0\), \(F'(b) \neq0\), so hat, wie schon \textit{Weierstraß} bemerkte, die Differentialgleichung \(\bigg(\dfrac{dx}{dt}\bigg)^2 = F(x)\) periodische Lösungen mit der Periode \(T = 2 \int\limits_a^b\dfrac{dx}{\sqrt{F(x)}}\). Im Spezialfall \[ F(x) = f(x) = \omega^2 (x-a)(b-x)\qquad (\omega>0) \] wird die Periode \(T_0=\dfrac{2\pi}\omega\). Verf. behandelt die näherungsweise Berechnung der Periode \(T\) für den Fall, daß \[ F(x) = f(x) + \varepsilon g(x), \] wo \(g(x)\) in einem Intervall \(a' \leqq x \leqq b'\) (\(a'<a<b<b')\) stetig ist und überdies einige weitere vom Verf. nicht präzisierte Voraussetzungen erfüllen muß und die Konstante \(\varepsilon\) so klein ist, daß Glieder, die höhere Potenzen von \(\varepsilon\) als die erste enthalten, vernachlässigt werden können. Es wird dann \[ T\sim T_0-\dfrac{\varepsilon}{\omega}\int\limits_0^\pi \lambda(x)d\theta,\quad x=\dfrac{a+b}2+\dfrac{a-b}2\cos\theta; \] dabei ist \[ \lambda(x)=-\dfrac1{\omega^2}\dfrac{G(x,a,b)}{V(x,a,b)}, \] \[ G(x,a,b)= \begin{vmatrix} g(x)&x&1\\ g(a)&a&1\\ g(b)&b&1\\ \end{vmatrix},\quad V(x,a,b)= \begin{vmatrix} x^2&x&1\\ a^2&a&1\\ b^2&b&1\\ \end{vmatrix}. \] \(G(x, a, b)\) ist ein distributiver Operator für \(g(x)\). Im Spezialfall \(g(x) = x^\nu\) (\(\nu\) positive ganze Zahl) sind die oben erwähnten, nicht präzisierten Voraussetzungen erfüllt. Es ist dann \(G(x, a, b) = 0\) für \(\nu=0\) und \(\nu = 1\), \(G(x, a, b) = V(x, a, b)\) für \(\nu = 2\), \[ G(x,a,b)=V(x,a,b)(x + a + b)\quad\text{für}\;\nu = 3 \] und allgemein \(G(x,a,b)\) durch \(V(x, a, b)\) teilbar. Für \(g(x) = p_0x^3 + p_1x^2 + p_2x + p_3\) ergibt sich, wie Verf. als Beispiel angibt, daß \[ T\sim T_0 + \dfrac{\varepsilon\pi}{\omega^3}\bigg[\dfrac32(a+b)p_0+p_1\bigg]. \tag{*} \] Die Note enthält zahlreiche Fehler; die wesentlichsten seien hier verbessert: Auf S. 74, Z. 8 v. o. lies \(\varPsi(x)\) statt \(f(x)\), im Integranden der Formel (9) und auf S. 76, Z. 7 v. o. lies \(\sqrt{\varPsi(x)}\) statt \(\delta\varPsi(x)\). Die Formel für \(\lambda(a)\) auf S. 76 enthält mehrere Fehler; es muß \[ \lambda(a)=-\dfrac1{\omega^2}\dfrac{G'(a,a,b)}{(b-a)^2} \] heißen. In der vorletzten Formel auf S. 78 fehlt rechts ein Minuszeichen, und die letzte Formel auf S. 78 ist durch die obige Formel (*) zu ersetzen.