Sur les suites convergentes des polynomes harmoniques. (Q2604908)

Eine Folge von harmonischen Polynomen konvergiere im Innern eines dreidimensionalen euklidischen Bereiches \(D\). Ein innerer Punkt \(P\) von \(D\) heißt regulär, wenn es eine Kugel um \(P\) gibt, in welcher die Folge gleichmäßig konvergiert, andernfalls irregulär. Verf. beweisen die Darstellbarkeit einer stetigen Funktion auf der abgeschlossenen Menge \(F\) durch eine gleichmäßig konvergente Folge in den folgenden beiden Fällen: 1) \(F\) ist beschränkt, vom räumlichen Maße Null und bedingt keine Zerlegung des Raumes. 2) \(F\) ist eine einfache (nicht geschlossene) \textit{Jordan}fläche. Weiterhin wird die notwendige Bedingung von \textit{P. Montel} (Fundam. Math., Warszawa, 25 (1935), 388-407; JFM 61.0525.*) dafür, daß \(E\) die Menge der irregulären Punkte darstellt, zu einer notwendigen und hinreichenden erweitert, durch die Forderung, daß \(E\) ein \(M\) ist, d. h. daß jede abgeschlossene Teilmenge \(E_{1}\) von \(E\) eine abgeschlossene Portion \(E_{2}\) enthält, die ihrerseits einen unendlichen Bereich begrenzt, der die Menge \(E\) enthält. Ist \(E\) nirgends dicht, und ersetzt man die Voraussetzung über \(E_{2}\) durch die Bedingung, daß \(E_{2}\) den Raum nicht zerfällt, so heiße \(E\) ein \(M\)*. Verf. geben dann noch notwendige und hinreichende Bedingungen an dafür, daß eine Funktion \(U\) in \(D\) durch eine (nicht notwendig gleichmäßig) konvergente Folge harmonischer Polynome darstellbar ist. Notwendig ist z. B., daß die Menge der singulären Punkte von \(U\) (in denen \(U\) nicht harmonisch ist) ein \(M\) ist. Eine hinreichende Bedingung ist z. B. die folgende: Der Bereich \(D\) sei von einer zusammenhängenden analytischen Fläche begrenzt. Die Menge \(E\) der singulären Punkte besitze das Maß Null und sei ein \(M\)*. \(U\) sei außerdem von der ersten \textit{Baire}schen Klasse auf \(E\).