The functions associated with a ring of oval cross-section. (Q2604911)

Verf. verallgemeinert eine Arbeit von \textit{C. Neumann} von 1864. Es seien \(\varrho \), \(\vartheta \), \(z\) Zylinderkoordinaten. Verf. setzt \(\varrho +iz=\,\text{dn}(K'i-\alpha -i\beta )\). Die Kurven \(\beta =\,\text{const}\) sind Ovale, deren Rotation um die \(z\)-Achse einen Ring erzeugt. Für diesen soll die Randwertaufgabe der Potentialtheorie für von \(\vartheta \) unabhängige Randwerte gelöst werden. Die Lösung wird in bekannter Weise aus speziellen Lösungen der \textit{Laplace}schen Gleichung von der Form \(\varrho ^{-\frac{1}{2}}A(\alpha )\cdot B(\beta )\) aufgebaut. Die \(A(\alpha )\) sind Eigenfunktionen einer \textit{Sturm}-\textit{Liouville}schen Differentialgleichung, die \(B(\beta )\) lassen sich durch die \(A(\alpha )\) ausdrücken. Geht der Modul \(k\to 0\), so wird aus dem Ring ein Kreisring (Torus) und die \(A\) und \(B\) gehen in die entsprechenden Funktionen bei \textit{C. Neumann} über. Randwerte, die von \(\vartheta \) abhängen, erfordern Verallgemeinerungen, auf die Verf. kurz eingeht.