Plateau's problem and Dirichlet's principle. (Q2604992)

Die Lösung des \textit{Plateau}schen Problems, die Verf. hier entwickelt, beruht auf demselben Grundgedanken wie die von \textit{Douglas} gegebene: An Stelle des Flächeninhaltes wird als Funktional des Variationsproblems das \textit{Dirichlet}sche Integral \(D(\mathfrak x)=\iint (E+G)\,du\,dv\) zugrunde gelegt (vgl. \textit{J. Douglas}, Trans. Amer. math. Soc. 33 (1931), 263-321; JFM 57.1542.*). Anstatt aber, wie \textit{Douglas}, von vornherein nur Potentialvektoren zur Konkurrenz zuzulassen, und dementsprechend (im Falle \textit{einer} gegebenen Kurve \(\varGamma \), in die ein einfachzusammenhängendes Minimalflächenstück einzuspannen ist) die Variation in die Abbildung des Randes des Einheitskreises auf \(\varGamma \) zu verlegen, werden hier beliebige (passenden Regularitätsbedingungen genügende) Vektoren \(\mathfrak x(u, v)\) in \(u^2+v^2\leqq 1\) zugelassen, die den Rand monoton und stetig auf \(\varGamma \) abbilden. Für den Existenzbeweis ist das natürlich belanglos, da ja nach dem \textit{Dirichlet}schen Prinzip als Lösung nur Potentialvektoren in Frage kommen, aber der Beweis, daß die gefundene Lösung eine Minimalfläche darstellt, läßt sich damit einfacher gestalten. Ist \(\mathfrak x(r, \vartheta )\) (\(r\), \(\vartheta \) Polarkoordinaten) der minimisierende Vektor, dessen Existenz nach ``direkter Methode'' hergeleitet wird, so genügt es in dem vorhin erwähnten einfachsten Fall zum Beweis, daß er eine Minimalfläche darstellt (wegen \(\varDelta \mathfrak x=0\) ist das bekanntlich gleichbedeutend damit, daß \(\mathfrak x\) eine konforme Abbildung vermittelt), die Variation zu betrachten: \(\mathfrak z(r, \vartheta )=\mathfrak x(r, \varphi )\), \(\varphi =\vartheta +\varepsilon \lambda (r, \vartheta )\) mit willkürlichem, im abgeschlossenenen Einheitskreis zweimal stetig differenzierbarem \(\lambda \), das nur in der Nähe des Randes von 0 verschieden zu sein braucht. -- Der ganze Aufbau deckt sich in diesem Fall vollkommen mit dem ungefähr gleichzeitig; von \textit{Tonelli} entwickelten (Atti Accad. naz. Lincei, Rend. Cl. Sci. fis. mat. nat. (6) 24 (1937); 333-339, 393-398; JFM 63.0659.*). Es wird ferner der Fall mehrerer gegebener Raumkurven \(\varGamma =(\varGamma _1,\dots, \varGamma _k)\) behandelt, die den Rand eines zweiseitigen Minimalflächenstückes \(\mathfrak F\) vom Geschlecht 0 bilden sollen (der Fall, daß höheres Geschlecht und eventuell Einseitigkeit verlangt wird, wird zum Schluß nur kurz gestreift; alle diese Fälle sind von \textit{Douglas} schon früher nach seiner Methode behandelt worden; vgl. J. Math. Phys., Massachusetts, 15 (1936); 55-64, 106-125; ferner die ausführliche Darstellung: Ann. Math., Princeton, (2) 40 (1939), 205-298; JFM 62.1462.*; 65\(_{\text{I}}\)). In dem hier zu betrachtenden, zu dem früheren analogen Variationsproblem ist auch der Definitionsbereich \(B\) des Vektors \(\mathfrak x(u, v)\) mit zu variieren; denn wegen der Konformität der Abbildung von \(B\) auf \(\mathfrak F\) kommt nicht jeder Bereich \(B\) in Frage. Als Normalform werden von \(k\) Vollkreisen berandete Bereiche gewählt. -- Ferner ist darauf zu achten, daß die Lösung nicht entartet, derart, daß etwa der Grenzvektor der Minimalfolge eine zerfallende Fläche darstellt. Um solche Möglichkeiten auszuschließen, ist die folgende Forderung für die gegebenen Kurven wichtig: \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(*)} \hfill d(\varGamma ) <d(\varGamma ')+d(\varGamma '');\hfill} \] hier ist \(d(\varGamma )\) die untere Grenze der \textit{Dirichlet}schen Integrale aller zugelassenen Vektoren, \(\varGamma '\), \(\varGamma ''\) eine beliebige Zerlegung des Systems \(\varGamma \) in zwei Teilsysteme. Da \(D(\mathfrak x)\) für den das Minimalproblem lösenden Vektor \(\mathfrak x\) nachträglich als Flächeninhalt der dargestellten Fläche erkannt wird, und da am Schluß gezeigt wird, daß \(\mathfrak x\) das absolute Minimum des Flächeninhalts ergibt, so hat die Forderung einen einfachen geometrischen Sinn und ergibt sich aus der Natur des Problems. Die Minimalflächeneigenschaft der Lösung wird, auch im Falle \(k>1\), zunächst ohne Zuhilfenahme der Existenzsätze der Theorie der konformen Abbildung bewiesen; diese ergeben sich vielmehr, wie bei \textit{Douglas}, als Spezialfälle; zu zeigen ist dazu nur, daß die Bedingung (*) keine Einschränkung bedeutet. Nimmt man einen gewissen derartigen Existenzsatz zuhilfe, so wird jener Beweis noch wesentlich einfacher. Auf derselben Grundlage wird schließlich gezeigt, daß die gefundene Fläche das absolute Minimum des Flächeninhaltes liefert. Bezüglich einer unrichtigen Feststellung über den Zusammenhang der Methode mit der \textit{Riemann}schen Dissertation vgl. \textit{Douglas}, Proc. nat. Acad. Sci. USA 24 (1938), 297-302; (F. d. M. 64\(_{\text{II}}\)). (IV 4 H, 13; V 6 B.)