Probabilità dello spezzamento di un segmento in parti che possano essere i lati di un \(n\)-gono. (Q2605011)

Die Strecke \(AB\) sei in \(m\) gleiche Teile \((m > n)\) durch die aufeinanderfolgenden Punkte \(A_0=A, A_1, A_2,\dots, A_{m-1},A_{m}=B\) geteilt. Durch einfache kombinatorische Betrachtungen läßt sich die Wahrscheinlichkeit \(V(m, n)\) dafür feststellen, daß sich die \(n +1\) Punkte \(P_0=A, P_1, P_2,\dots, P_{n-1}, P_n=B\) aus den \(m + 1\) Punkten \(A_{j}\) derart auswählen lassen, daß die Strecken \(P_iP_{i+1}\) die Seiten eines \(n\)-Ecks sind. Für \(m\to\infty \) erhält man daraus die Größe der Wahrscheinlichkeit, daß die \(n + 1\) beliebigen Punkte \(P_{i}\), von denen \(P_{0} = A\) und \(P_{n} = B\) ist, sich auf der Strecke \(AB\) derart bestimmen lassen, daß die Strecken \(P_iP_{i+1}\) die Seiten eines \(n\)-Ecks sein können. Das Ergebnis ist \[ \lim_{m\to\infty }\kern-3pt V(m, n)=1-n(\tfrac{1}{2})^{n-1}. \] Die gesuchte Wahrscheinlichkeit geht also mit wachsendem \(n\) sehr schnell gegen eins.