Moments and cumulants in the specification of distributions. (Q2605036)

Der Aufsatz bezweckt in der Hauptsache, eine Klärung über die Terminologie herbeizuführen. Ist \(f(x)\) die Summenfunktion einer stetigen statistischen Größe, so ordnet man ihr folgende charakteristische Funktion zu \[ M(t)=\kern-4pt\int\limits_{-\infty }^{+\infty }\kern-4pt e^{itx}\,df=\textstyle \sum\limits_{r=0}^{\infty }\displaystyle \frac{(it)^r}{r!}\kern-4pt\int\limits_{-\infty }^{+\infty }\kern-4pt x^r\,df=\textstyle \sum\limits_{r=0}^{\infty }\dfrac{(it)^r}{r!}\mu _r^\prime. \] \(\mu _r^\prime\) ist das \(r\)-te Moment um den Ursprung. Da \(e^{itx}=e^{it\mu _1^\prime }e^{it(x-\mu _1^\prime )}\) ist, läßt sich für \(t=-i\tau \) sofort die Identität \[ e^{-\tau \mu _1^\prime }\biggl(1+\mu _1^\prime \,\frac{\tau }{1!}+\mu _2^\prime \,\frac{\tau ^2}{2!}+\mu _3^\prime \,\frac{\tau ^3}{3!}+\dots \biggr)=\biggl(1+\mu _2\,\frac{\tau ^2}{2!}+\mu _3\,\frac{\tau ^3}{3!}+\dots \biggr) \] anschreiben, welche das \(r\)-te Moment \(\mu _r\) um das arithmetische Mittel liefert. Bildet man den natürlichen Logarithmus der auf der rechten Seite der letzten Gleichung stehenden Größe, so erhält man die kumulative Funktion \[ {}^e\log\,\biggl(1+\mu _2\,\frac{\tau ^2}{2!}+\mu _3\,\frac{\tau ^3}{3!}+\dots \biggr)=\varkappa _2\,\frac{\tau ^2}{2!}+\varkappa _3\,\frac{\tau ^3}{3!}+\cdots, \] deren Koeffizienten \(\varkappa _2\), \(\varkappa _3\),\dots als Kumulanten bezeichnet werden. Es gelten die Beziehungen: \[ \begin{aligned} \qquad\qquad\varkappa _2&=\mu _2,\\ \varkappa _3&=\mu _3,\\ \varkappa _4&=\mu _4-3\mu _2^2,\\ \varkappa _5&=\mu _5-10\mu _3\mu _2\;\text{usw.}\end{aligned} \] Verf. stellen eine Anzahl von Aufgaben zusammen, die sich durch Einführung dieser Kumulanten übersichtlicher lösen lassen.