The square root transformation in analysis of variance. (Q2605049)

Ähnlich wie man durch eine Transformation der abhängigen Variablen eine \textit{Gauß}-Verteilung auf eine Normalform mit fester Streuung bringt, um die Tafeln für das Wahrscheinlichkeitsintegral benutzen zu können, möchte Verf. für \textit{Poisson}- und \textit{Bernoulli}-Verteilungen Normalausdrücke mit fester Streuung herstellen. Der Versuch mit den \textit{Bernoulli}-Verteilungen kann nicht als gelungen bezeichnet werden. Dagegeben gibt die Behandlung der \textit{Poisson}-Verteilungen mannigfache Anregungen. Verf. schließt in nicht ganz überzeugender Weise aus einem Näherungsausdruck, daß in diesem Falle der Übergang von \(x\) zu \(\sqrt{x}\) zu der konstanten Streuung \(\sigma ^2=\frac{1}{4}\) führen müsse, falls \(m = E(x)\) groß ist. Den mangelnden strengen Beweis ersetzt er durch Zahlentabellen, welche diese Konvergenz überraschend gut erkennen lassen. Verf. hat es unterlassen, den Kern seiner Approximation für den Leser herauszuschälen. Es ist dies die Beziehung \[ \varGamma (m+\tfrac{1}{2}):\varGamma (m)\sim\tfrac{1}{2}\sqrt{4m-1}, \] die bereits für \(m = 4\) nur einen Fehler von wenig über \(1{}^0\!/\!_{00}\) gibt. Da Gammafunktionen halbzahliger Werte häufig auftreten, ist diese, mir bisher unbekannte, Näherung sehr verwendbar. Schreiben wir die \textit{Poisson}-Verteilung in der stetigen Form \[ w(x)\,dx=\frac{1}{\varGamma (m)}x^{m-1}\,e^{-x}\,dx, \] so erhalten wir unter Benutzung der Approximation \[ \begin{gathered} E(\sqrt{x})\sim\tfrac{1}{2}\,\sqrt{4m-1};\quad(\sigma ^2)_{\sqrt{ x}}=\tfrac{1}{4}:\\ \text{Schiefe}\;\;(\varrho )_{\sqrt{ x}}=0; \quad \text{Exzeß}\;\;(\varepsilon )_{\sqrt{ x}}=+2.\end{gathered} \] Die Verteilung von \(\sqrt{x}\) ist somit genähert symmetrisch und weist einen konstanten, positiven Exzeß auf. Auf diese beiden Eigenschaften hat Verf. nicht klar hingewiesen. Sie lassen es in der Tat ratsam erscheinen, bei seltenen Vorkommen statt \(x\) die Größe \(\sqrt{x}\) als Veränderliche zu wählen. Eine Folgerung aus der \textit{Bartlett}schen Approximation sei noch erwähnt. Schreiben wir \(P_n=\prod\limits_{k=1}^{n}\dfrac{2k}{2k-1}\cdot \dfrac{2k}{2k+1}\), so ist nach \textit{Wallis} \(\displaystyle \lim_{n\to\infty }P_n=\dfrac{\pi }{2}\). Viel schärfer ist aber \(\displaystyle \lim_{n\to\infty }\dfrac{4n+3}{4n+2}P_n=\dfrac{\pi }{2}\), da der Restfaktor \(\prod\limits_{k=n+1}^{\infty }\dfrac{2k}{2k-1}\cdot \dfrac{2k}{2k+1}\sim\dfrac{4n+3}{4n+2}\) ist.