Internal and external means arising from the scaling of frequency functions. (Q2605064)

Es wird gezeigt, daß die Methode der \textit{maximum likelihood} nicht immer zum Erfolg führt, wenn eine Schätzung für den Maßstab-Parameter einer Verteilung abgegeben werden soll. Schon bei den bekannten \textit{Pearson}-Kurven gibt es Sonderfälle, bei denen das Verschwinden der ersten Ableitung von \(L\) nicht zu einer besten Schätzung führt. Verf. gelingt es, diese Verhältnisse zu klären. Er benutzt dabei sehr allgemeine Mittelwertbildungen, die von \textit{O. Chisini} (Periodico Mat. (4) 9 (1929), 106-116; F.~d.~M. 55\(_{\text{II}}\), 918) eingeführt worden sind. Dieser betrachtet eine Größe \(M\) als Mittel der Beobachtungen \(x_1, \, x_2, \ldots \!, x_n\) bezüglich der Funktion \(G\), falls \(G \,(x_1, \, x_2, \ldots \!, x_n)=G \,(M, \, M, \ldots \!, M)\) ist. Lautet die Auflösung dieser Gleichung nach \(M\) \(M=F \,(x_1, \, x_2, \ldots \!, x_n)\), so gilt auch \[ F \,(x_1, \, x_2, \ldots \!, x_n)=F \,(M, \, M, \ldots \!, M)=M. \] \(M\) ist also gleichzeitig das Mittel der Messungen \(x_1, \, x_2, \ldots \!, x_n\) bezüglich der Funktion \(F\).