Test of an observed difference in the frequency of two results. (Q2605087)

Eine Urne enthalte Kugeln verschiedener Farben. Bei einer Stichprobe vom Umfang \(N\) seien, in Anteilen ausgedrückt, \(p\) weiße, \(p'\) rote, \(p^{\prime \prime}\) grüne, . . . Kugeln gezogen worden. Geprüft wird, ob der beobachtete Unterschied \(p - p'\) zufällig oder echt ist. Die wahren Anteile seien \(P\), \(P^{\prime}\), \(P^{\prime \prime}\),.... Die Wahrscheinlichkeit, in \(N\) Zügen \(n\) weiße Kugeln zu erhalten, ist \(\mathfrak{w}_N \,(n)={ \binom Nn} \, P^n \,(1-P)^{N-n}\); die Wahrscheinlichkeit, daß in den restlichen \((N - n)\) Zügen m rote Kugeln erscheinen, ist \[ \mathfrak{w}_{N-n} \,(m)={N-n\choose m} \, \left( \frac{P'}{1-P} \right)^m \, \left( 1- \frac{P'}{1-P} \right)^{N-n-m}. \] Durch Multiplikation erhält man die Wahrscheinlichkeit für \(n\) weiße und \(m\) rote Kugeln in \(N\) Zügen, wobei \(n + m \leqq N\) ist. Es kommt auf die Differenz \(d = n - m\) an, die zur Elimination von \(m\) benutzt wird. So ergibt sich für sie die Verteilung: \[ \mathfrak{w} \,(d)=\frac{N!}{n! \,(n-d)! \,(N-2n+d)!} P^n \, P^{\prime \, n-d} \, (1-P-P^{\prime})^{N-2n+d}. \] Verf. berechnet für diese Verteilung Mittelwert und Streuung. Er findet die erstaunlich einfachen Ausdrücke \[ E \,(d)=N \,(P-P^{\prime}) \quad \text{und} \quad \sigma_d^2=N \, [P+P^{\prime}-(P-P^{\prime})^2]. \] Wäre \(P = P^{\prime}\), so wäre \(d=0 \pm 3 \sqrt{N \,(P+P^{\prime})}\). Nun sind freilich \(P\) und \(P'\) nicht bekannt. Verf. glaubt aber, in diesem Zusammenhang \(P+P' \sim p+p'\) setzen zu dürfen. Er hält also die beobachtete Differenz \(|\, N \,(p-p') \,|\) für gesichert, wenn sie größer als \(3 \sqrt{N \,(P+P^{\prime})}\) ist, will allerdings diese Regel aus verständlicher Vorsicht nur für \(N \geqq 100\) gelten lassen.