Über einige Probleme aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. (Q2605100)

I. Über die Funktion, die die Wahrscheinlichkeit ausdrückt. Die Wahrscheinlichkeit wird durch die Funktion \(\varphi \,(x, \,n)\) der Anzahl \(x\) der günstigen und der Anzahl \(n\) der möglichen Fälle gemessen. Dabei ist \(\varphi \, (0, \,n) = 0\). Es sei \(\alpha + \beta + \gamma + \delta=n\). Dann gilt nach dem Verf. der Additionssatz: \[ \varphi \,(\alpha + \beta, \,n)+\varphi \,(\alpha + \gamma, \,n)= \varphi \,(\alpha + \beta + \gamma, \,n) + \varphi \,(\alpha, \,n) \] und der Multiplikationssatz: \(\varphi \,(\alpha, \,n)= \varphi \,(\alpha, \,\alpha + \beta) \cdot \varphi \,(\alpha + \beta, \,n)\). Im allgemeinsten Falle genügt dem Additionssatz die Funktion: \(\varphi \,(x, \,n)= \text{ const} \cdot \dfrac{x}{n}\) und dem Multiplikationssatz die Funktion: \(\varphi \,(x, \,n)= \dfrac{M \,(x)}{M \,(n)}\), beiden Sätzen die Funktion: \(\varphi \,(x, \,n)=\dfrac{x}{n}\). II. Über den Zusammenhang zwishen der Eulerschen Funktion \(\varphi \,(n)\) und einem Satz von Tschebyscheff. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß irgend zwei ganze Zahlen teilerfremd sind,ist nach \textit{Tschebyscheff}: \(p = \dfrac{6}{\pi^2}\). Verf. zeigt in eleganter Weise, daß daraus folgt: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} \varphi \,(k)= \frac{p}{2}=\frac{3}{\pi^2}=0.304 \ldots \] III. Über die Umkehrung eines Satzes von Bernoulli. Ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit \(p\) sei bei \(s\) Versuchen \(m\)-mal aufgetreten, und es sei \(p + q = 1\), \(m + n = s\). Nach \textit{Bernoulli-Laplace} ist die Wahrscheinlichkeit für die Ungleichung \[ sp-t \sqrt{2spq}<m<sp+t \sqrt{2spq} \tag{1} \] bei großem \(s\) angenähert gleich der durch das Normalintegral ausgedrückten Größe \(P \,(t)\). Nach Vernachlässigungen, die wegen der vorausgesetzten Größe von \(s\) erlaubt sind, bringt Verf. die Ungleichung (1) auf die Form \[ \frac{m}{s} - t \sqrt{\dfrac{2mn}{s^3}}<p< \frac{m}{s} + t \sqrt{\dfrac{2mn}{s^3}}. \tag{2} \] Das ist formal dieselbe Ungleichung, für die nach \textit{Bayes-Laplace} die gleiche angenäherte Wahrscheinlichkeit \(P \,(t)\) gilt. Verf. irrt aber, wenn er behauptet, daß diese Aussage auch inhaltlich mit dem letztgenannten Theorem übereinstimmt. Denn in (2) ist ebenso wie in (1) \(m\) die Zufallsveränderliche, im \textit{Bayes}schen Fall aber \(p\). Die Bedeutung der Ungleichung (2) liegt vielmehr darin, daß sie die ``Mutungsgrenzen'' für \(p\) angibt Vgl. auch die oben besprochene Arbeit von \textit{R. Prigge}.