Sul valore capitale della rendita certa a tasso oscillante. (Q2605236)

Bekanntlich lassen sich die Koeffizienten der \textit{Fourier}schen Entwicklung der Funktion \(e^{\varTheta \, \cos \, \gamma x}\) durch \textit{Bessel}sche Funktionen ausdrücken: \[ e^{\varTheta \, \cos \, \gamma x} = J_0 \,(-i \varTheta) + 2 \cdot \sum_{n=1}^{\infty} i^n \cdot J_n \,(-i \varTheta) \, \cos \, n \gamma x; \] im Falle \(\varTheta=\dfrac{\beta}{\gamma}\) besteht zwischen den Koeffizienten \(a_m\) der \textit{Fourier}reihe die Rekursionsformel \(a_{m+1}=a_{m-1}-2m \cdot \dfrac{\gamma}{\beta} \,a_m\), die eine recht einfache Berechnung der Koeffizienten gestattet. Die Ergebnisse werden auf die Funktion \[ g \,(s) \cdot e^{-\frac{\beta}{\gamma}} = e^{-\frac{\beta}{\gamma}} \cdot \int\limits_{0}^{s} e^{-\alpha x + \frac{\beta}{\gamma} \cos \, \gamma x} \, dx \] angewandt, die den Barwert einer kontinuierlichen, \(s\)-jährigen Rente darstellt, wenn die Zinsintensität von der Gestalt \(\varrho \,(z) = \alpha + \beta \, \sin \, \gamma z\), also der logarithmische Aufzinsungsfaktor von der Form \(\varphi \,(x) = \int\limits_{0}^{x} \varrho \,(z) \, dz = \alpha x + \dfrac{\beta}{\gamma} \,(1- \cos \, \gamma x)\) ist.