Mechanism of the production of small eddies from large one. (Q2605263)

Erfahrung wie auch gewisse statistische Überlegungen zeigen Proportionalität zwischen dem mittleren Quadrat des Rotors einer turbulenten Strömung und dem mittleren Quadrat der Geschwindigkeit. Um dieses Gesetz theoretisch besser zu be\-gründen, gehen die Verf. von einem durch \[ u = A \cos ax \sin by \sin cz;\quad v = B \sin ax \cos by \sin cz,\quad w = C \sin ax \sin by \cos cz \] mit \(Aa + Bb + Cc = 0\) (wegen der Kontinuitätsgleichung) gegebenen Anfangszustand aus und integrieren nun die \textit{Stokes}schen Gleichungen der zähen Flüssigkeiten in ge\-wissem Sinne exakt und zwar in folgender Weise: Zunächst kann aus dem Satz, daß \(-\dfrac1\varrho\varDelta p\) der zweiten Invarianten des Geschwindigkeitstensors gleich ist, der Druck \(p\) eindeutig bestimmt werden; wenn er auch periodisch sein soll, dann kann man aus den Bewegungsgleichungen das Glied mit \(t\) berechnen, das in erster Näherung hinzukommt. Dieses hat wesentlich dieselbe periodische Gestalt wie das Ausgangsglied, und man kann das Verfahren fortsetzen. Es entsteht so die Lösung in Form einer Potenzreihe in \(t\). (Konvergiert sie?) Die Berechnung haben die Verf. bis zur dritten Potenz fortgesetzt, wo schon über 500 Glieder auftreten; um. die Sache handlich zu halten, begnügen sie sich in der Durchführung mit dem Sonderfall: \(a=b = c\), \(A = - B\), \(C= 0\). Nun kann die Rechnung und Diskussion bis zur dritten Potenz in \(t\) durchgeführt werden, für die in Rede stehenden Größen ergeben sich sogar die Glieder bis zur fünften bzw. sechsten Potenz. Damit gelingt es nun, das fragliche Gesetz in großen Zügen zu verifi\-zieren. Die Rechnung wurde für \textit{Reynolds}sche Zahlen von 25 bis 300 durchgeführt.