Zur hydrodynamischen Form der Wellenmechanik. (Q2605363)

Aus \textit{Schrödinger}s relativistischer Wellengleichung des Elektrons: \[ \bigg\{{\sum\limits_{k}}\left(\dfrac{\hbar}{i} \dfrac{\partial}{\partial x_k}+\frac ec\varPhi_k\right)^2+ m_0c^2\bigg\}\psi=0, \] \(\varPhi_k =\) Viererpotential des äußeren elektromagnetischen Feldes, gewinnt man durch den Ansatz: \(\psi=\alpha\exp (iS/\hbar)\) zwei Differentialgleichungen für \(S\) und \(\alpha\). Aus diesen zwei Gleichungen läßt sich ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe \(T_{ik}\) bilden, dessen Divergenz verschwindet, was die Möglichkeit eröffnet, ihn als Energie-Spannungs\-tensor zu deuten. Es ist: \[ \begin{gathered} T_{ik}=m_0\alpha^2v_iv_k+E_{ik}+\frac{\hbar^2}{m_0} \left(\dfrac{\partial \alpha}{\partial x_i}\dfrac{\partial \alpha}{\partial x_k}\dfrac{1}{4}\delta_{ik}\square(\alpha^2)\right); \tag{1}\\ v_i=\frac1{m_0}\left(\dfrac{\partial S}{\partial x_i}+\dfrac{e}{c}\varPhi_i\right); \end{gathered} \] \(E_{ik}\) ist der elektromagnetische Energie-Spannungstensor: \(E_{ik} = F_{ij}F_{kj}-\frac14\delta_{ik}F_{jn}F_{jn}\); über gleiche Indizes ist zu summieren, \(F_{ij}\) ist der Sechservektor des elektromagneti\-schen Feldes, \(\delta_{ik}\) das \textit{Kronecker}sche Symbol, \(\square\) der vierdimensionale \textit{Laplace}sche Operator. Verf. weist auf die Ähnlichkeit von (1) mit dem relativistischen Erhaltungs\-satz für den Energie-Spannungstensor einer elektrisch geladenen Flüssigkeit hin, der lautet: \(M_{ik}=\varrho u_iu_k+E_{ik}+P_{ik}\); \(\varrho\) ist die Dichte, \(u_i\) die Vierergeschwindigkeit, \(P_{ik}\) der hydrodynamische Spannungstensor, er entspricht dem letzten Glied mit der Klammer in (1). Die Dichte der wellenmechanischen Flüssigkeit ist: \[ \varrho=m_0\alpha^2\bigg\{1-\left(\dfrac{\hbar}{m_0c}\right)^2\frac{\square\alpha} \alpha\bigg\} \] und die Vierergeschwindigkeit: \[ u_i=\frac{v_i}{\sqrt{1-\left(\dfrac{\hbar}{m_0c}\right)^2\dfrac{\square\alpha}\alpha}}. \] Der Erwartungswert für die Stromdichte der Materie ist verschieden vom Erwar\-tungswert der elektrischen Stromdichte.