Les mathématiques et la réalité. Essai sur la méthode axiomatique. (Q2605653)

Gegenstand des vorliegenden Buches ist das Grundproblem der Erkenntnistheorie: die Frage nach dem Verhältnis des Rationalen und des Wirklichen. Der Verf. betont, daß diese Frage neu beantwortet werden müsse. Dies erfordere die Diskrepanz zwischen den Begriffen der Wahrheit an sich, die von den Mathematikern, und der Realität an sich, die von den Physikern erstrebt würde, -- zwei Ziele, von denen zudem das erste durch die Grundlagenkrisis der Mathematik und das zweite durch die Entwicklung der modernen Physik ins Wanken geraten sei. Der Verf. will seine Antwort auf das genannte Problem nicht im Rahmen eines alten oder neuen philosophischen Systems geben, sondern bezeichnet seinen Lösungsversuch als eine \textit{``Theorie''} und will dieses Wort in dem in der Physik üblichen Sinne verstanden wissen. Die erste Grundthese der Theorie des Verf. besagt: \textit{Die Erfassung des Konkreten durch das Abstrakte ist dadurch bestimmt, daß wir die Dinge nicht unmittelbar, sondern nur schematisch erfahren und beschreiben können.} Der Begriff des \textit{Schemas}, der somit in dem Gedankengebäude des Verf. fundamental ist, wird am Beispiel der Geometrie auseinandergesetzt. Die Geometrie der Alten, wie sie heute etwa in den Schulen gelehrt wird, ist eine erste Schematisierung, die \textit{Hilbert} dann in seiner Axiomatisierung einem zweiten Schematisierungsprozeß unterworfen hat. Die axiomatisch schematisierte Geometrie besitzt Realisierungen in der Erfahrungswelt, von denen sie aber notwendig nur eine summarisch vereinfachende Beschreibung gibt. Allgemein liefert die Axiomatisierung die Methode der Schematisierung: ``La methode axiomatique formule le bréviaire de l'abstraction'' (S. 243) und ist daher von zentraler Bedeutung für den Verf. Bei den Begriffen der Geometrie, die der Verf. als das Beispiel benutzt, an dem er seine Auffassungen und Begriffsbildungen ausführlich bespricht, ist der schematische Charakter jedermann geläufig. Der Nachdruck des Verf. liegt aber darauf, daß auch alle anderen wissenschaftlichen Begriffe in einem ähnlichen Sinne schematisch sind. Aus der großen Anzahl von Beispielen, die der Verf. behandelt, möge der mathematische Wahrheitsbegriff hervorgehoben werden, der als eine Schematisierung des Wahrheitsbegriffs des täglichen Lebens aufgefaßt wird. Es tritt nun die zweite Grundthese des Verf. hinzu: \textit{Es gibt keine absolut gültigen Schemata, sondern die Schemata, in denen wir denken, befinden sich in ständiger Entwicklung}. Auch wenn die Mathematik durch ein formales System wiedergegeben wird, so kann dies System keine absolute Richtigkeit beanspruchen. Und in den Versuch der Finitisten, es durch einen Widerspruchsfreiheitsbeweis zu sichern, gehen an wichtigen Stellen Begriffe ein, die das formale System mit der Erfahrungswelt verknüpfen und an der Entwicklung unseres Weltbildes teilhaben; ein Beispiel ist der Begriff des ``anschaulich gegebenen Gegenstandes'', der eine Abstraktion aus der makroskopischen Erfahrung ist. Gegen die beiden Grundthesen des Verf. kann eingewendet werden, daß uns doch die anschauliche Intuition nicht nur eine schematische, sondern eine unmittelbare und absolut gültige Kenntnis der Dinge vermitteln könne. Dieser Meinung widerspricht der Verf. nachdrücklich: ``La connaissance intuitive représente déjà une élaboration simplificatrice conforme aux nécessités de l'action'' (S. 356). Er diskutiert ausführlich die Rolle, die der Anschauung als einem mathematischen Beweismittel zukommt, und faßt seine Ansicht in dem Satz zusammen: ``Le fondement de toute évidence mathématique est une analogie'' (S. 323). An eine Schematisierung stellt der Verf. gewisse Anforderungen und weist z. B. nach, daß der naive Realismus, mit dem \textit{Whitehead} und \textit{Russell} das System der \textit{Principia Mathematica} aufgebaut haben, mit ihnen nicht verträglich ist. Wenn diese Anforderungen erfüllt werden, verschwinden nach Meinung des Verf. die Antinomien von selbst, Es ist klar, daß sich der Verf. durch den Verzicht auf endgültige Tatsachen und eine absolute Wahrheit in Gegensatz zum Platonismus stellt. Er faßt jedoch seine Theorie als eine zulässige Weiterentwicklung der \textit{Platon}ischen Lehren auf. Da er insbesondere keinen absoluten mathematischen Wahrheitsbegriff anerkennt, kann er die klassische und die intuitionistische Mathematik als zwei Schematisierungen auffassen, die nebeneinander bestehen können, ``de la même façon que deux portraits du même personne, exécutés par deux peintres différents, ne détruisent pas réciproquement leur fidélité à leur modèle commun'' (S. 347 f.). Die Kapitelüberschriften mögen einen Einblick in den Themenreichtum des umfangreichen Werkes vermitteln:\ \; I. Explications préliminaires. Les buts et les vues de l'auteur.\ \; II. Le paradoxe du langage.\ \; III. La construction de la réalité.\ \; IV. Le double visage de l'abstrait.\ \; V. L'autonomie de l'abstrait. (La méthode déductive en géométrie.)\ \; VI. La nature du nombre entier.\ \; VII. Jugements sur la logique.\ \; VIII. La physique de l'object quelconque. (La logique est d'abord une science naturelle.)\ \; IX. La physique intuitive des qualités -- l'object Aristotélicien.\ \; X. Les types.\ \; XI. Théorie du vrai et du faux.\ \; XII. ``Tous'' et ``l'un ou l'autre''.\ \; XIII. La méthode axiomatique.\ \; XIV. Les antinomies.\ \; XV. Les structures.\ \; XVI. Expliquer et définer. (Le principe d'analogie.)\ \; XVII. Déduire et démontrer. \ \; XVIII. Conclusion. (Dialogue.)