Sur un problème de M. Kolmogoroff. (Q2605705)

Für eine gegebene Mengenfamilie \(\varPhi\) bezeichne man durch \(\varPhi_\sigma\) bzw. \(\varPhi_\delta\) die Familie aller Mengen, welche abzählbare Summen bzw. Produkte der Mengen aus \(\varPhi\) sind. Man setze \(\varPhi^0 = \varPhi\), \(\varPhi^1 = \varPhi_\sigma\), \(\varPhi^2 = \varPhi_{\sigma\delta}\), \(\varPhi^3 = \varPhi_{\sigma\delta\sigma}\), \(\varPhi^4 = \varPhi_{\sigma\delta\sigma\delta}\), \(\cdots\). Wenn für eine Familie \(\varPhi\) solche Zahlen \(n\) existieren, für welche \(\varPhi^n = \varPhi^{n+k}\) (\(k = 1, 2, 3, \dots\)), bezeichne man die kleinste von ihnen durch \(\alpha (\varPhi)\). -- Ein von \textit{Kolmogoroff} in Fundam. Math., Warszawa, 25 (1935), 578 aufgestelltes Problem, auf endliche Klassen angewandt, lautet: Für welche natürliche Zahlen \(n\) existiert eine derartige Mengenfamilie \(\varPhi\), daß \(\alpha(\varPhi) = n\)? Verf. bemerkt, daß für \(n = 1\) und \(n = 2\) die Existenz entsprechender Familien (sogar endlicher Familien von endlichen Mengen) leicht gefolgert werden kann. Aber schon der Fall \(n = 3\) bietet bei jetzigem Stand der Wissenschaft erhebliche Schwierigkeiten; die Existenz der entsprechenden Familien \(\varPhi\) läßt sich in diesem Falle nur mit Zuhilfenahme der Kontinuumhypothese beweisen (Beweis bildet den Hauptinhalt der Arbeit). -- Verf. betont, daß die Entscheidung des \textit{Kolmogoroff}schen Problems für \(n = 4\) sogar mit der Kontinuumhypothese nicht gelungen ist.