On the equivalence of two singular matrix pencils. (Q2605766)

Verf. betrachtet das singuläre Matrizenbüschel \[ \varLambda = r A + s B, \] wo \(A\) und \(B\) Matrizen von \(n\) Zeilen und \(n^\prime\) Spalten sind. Er erweitert die Methode von \textit{Turnbull} (Proc. Edinburgh math. Soc. 4 (1935), 67-76; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 72) in der Weise, daß sie alle \textit{Kronecker}schen Indices liefert. Sein Hauptresultat kann folgendermaßen ausgesprochen werden: Die \(n\) Matrizen \[ M_1 = [A\, B], \quad M_2 = \left[\begin{matrix} A & B & \cdot \\ \cdot & A & B \end{matrix} \right], \quad M_3 = \left[\begin{matrix} A & B & \cdot & \cdot \\ \cdot & A & B & \cdot \\ \cdot & \cdot & A & B \end{matrix} \right], \dots \] mögen ``Zeilen-Hilfsmatrizen'' des Büschels \(\varLambda\) heißen, und die Zeilennullität (Komplement des Zeilenrangs) von \(M_k\) sei \(\nu_k\). Dann ist die Anzahl der \textit{Kronecker}schen Zeilenindices, die gleich \(k\) sind, die zweite Differenz \(\nu_{k+1} - 2\nu_k + \nu_{k-1}\). Ein ähnliches Ergebnis gilt für die ``Spalten-Hilfsmatrizen'' und Spaltenindices. Verf. leitet einfache notwendige und hinreichende Bedingungen für die Äquivalenz zweier Büschel in einem Körper ab, nämlich: (1) die Elementarteiler müssen übereinstimmen, und (2) die Ränge der entsprechenden \(n\) Zeilen-Hilfsmatrizen und \(n^\prime\) Spalten-Hilfsmatrizen der beiden Büschel müssen übereinstimmen.