Un problème algébrique et sa solution topologique. (Q2605774)

Es bedeute \(p (n)\) die Maximalzahl von Matrizen \(A^{(i)}\) des Grades \(n\) von der Eigen\-schaft, daß \(A={\sum\limits_{i}}x_iA^{(i)}\) für reelle nicht sämtlich verschwindende \(x_i\) orthogonal ist; \(p'(n)\) die entsprechende Anzahl, wenn man nur verlangt, daß \(A\) nicht-singulär sei; schließlich \(p''(n) - 1\) die Maximalzahl von überall linear unabhängigen stetigen Vektor\-feldern im reellen \((n - 1)\)-dimensionalen projektiven Raum. \(p (n)\) ist von \textit{Hurwitz} (Mathematische Werke II (1933; F. d. M. \(59_1\), 35-36), S. 565-571, 641-666 \(=\) Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, math.-nat. Kl., 1898, 309-316; Math. Ann. 88 (1922) 1-25; F. d. M. 29, 177-178, 48, 1164) und \textit{Radon} (Abh. math. Sem. Hamburgische Univ. 1 (1921), 1-14; F. d. M. 48, 92 (JFM 48.0092.*)-93) auf algebraischem Wege bestimmt worden: \[ p(n) = \begin{cases} \dfrac nu\quad\text{für}\;n\not\equiv0\pmod{16},\;\text{wobei}\;n=2^mu,\;u\;\text{ungerade},\\ p\left(\dfrac{n}{16}\right)+8\quad\text{für}\;n\equiv0\pmod{16}. \end{cases} \] Verf. hat (Richtungsfelder und Fernparallelismus in \(n\)-dimensionalen Mannigfaltig\-keiten, Comment. math. Helvetici 8 (1936), 305-353; F. d. M. 62) auf topologischem Wege gefunden, daß \(p''(n)\) für \(n\not\equiv0\pmod{16}\) mit \(p (n)\) übereinstimmt, woraus wegen \(p (n)\leqq p'(n)\leqq p'' (n)\leqq n\) dasselbe für \(p'(n)\) folgt. Für \(n\equiv0\pmod{16}\) kann man nichts aussagen. Das besagt insbesondere, daß nullteilerfreie nicht notwendig assozia\-tive hyperkomplexe Systeme mit \(n\) Einheiten über dem Körper der reellen Zahlen -außer für \(n=1\), 2, 4, 8 -- höchstens noch für \(n\equiv0\pmod{16}\) existieren könnten. (III 5 B.)