Die Seltenheit der reduziblen Gleichungen und der Gleichungen mit Affekt. (Q2605791)

Verf. bezeichnet mit \(T\) die Anzahl aller ganzzahligen Polynome \(f (x)\) festen Grades mit Koeffizienten \(|c_\nu|\leqq N\) und mit \(S\) die Anzahl derjenigen unter diesen \(f (x)\), für welche \(f (x) = 0\) eine bestimmte galoissche Gruppe \(\mathfrak G\) besitzt. \(\dfrac ST\) wird dann die Häufig\-keit der Polynome mit der Gruppe \(\mathfrak G\) genannt. Nach Verf. (Math. Ann. 109 (1933), 13-16; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 124-125) ist bekannt, daß für affektlose Gleichungen \(\dfrac ST\) gegen Eins strebt, für Gleichungen mit Affekt gegen Null. Unter Zuhilfenahme eines Satzes von \textit{Kronecker} kann Verf. hier beim Spezialfall einer intransitiven Gruppe genauer folgendes zeigen : Die Häufigkeit der Polynome des Grades \(n = q + r\), welche in Faktoren \(g (x)\, h (x)\) der Gerade \(q\) und \(r\) zerfallen, ist für \(q < r\) genau von der Größenordnung \(N^{-q}\), für \(q = r\) genau von der Größenordnung \(N^{-q} \log N\). Für \(q < r\) ändert sich sogar die Größenordnung der Häufigkeit nicht, wenn man sich nur auf ein spezielles \(g (x)\) des Grades \(q\) beschränkt. Hiermit kann Verf. zum erstenmal zeigen, daß nicht immer die größere Gruppe auch die größere Häufigkeit zu haben braucht. Für die Gesamthäufigkeit der Gleichungen mit Affekt wird nur eine obere Schranke gefunden. Für die kubischen Gleichungen mit alternierender Gruppe wird zum Schluß in teilweise heuristischer Betrachtungsweise sehr plausibel gemacht, daß ihre Häufigkeit \(O(N^{-2+\varepsilon})\) ist.