Über Klassen und Zentrum einer endlichen Gruppe. (Q2605855)

Verf. beweisen einige einfache Sätze über das Auftreten von Ähnlichkeitsklassen, deren Ordnung durch eine vorgegebene, in der Gruppenordnung aufgehende Primzahlpotenz teilbar ist. Z. B: Dafür, daß eine Klasse mit einer durch (1) \(p\), (2) \(p^2\), (3) \(p^{\alpha}\) teilbaren Ordnung vorhanden ist, ist (1) notwendig und hinreichend, daß keine \(p\)-\textit{Sylow}gruppe im Zentrum liegt, (2) hinreichend, daß die Gruppe kein Zentrum besitzt und daß die \(p\)-\textit{Sylow}gruppen nicht abelsch vom Typ \((1,\, 1,\ldots \!, 1)\) sind, (3) hinreichend, daß die Gruppe kein Zentrum besitzt und daß es nur eine einzige Klasse mit durch \(p\) teilbarer Ordnung gibt.