On simply transitive groups with transitive abelian subgroups of the same degree. (Q2605865)

Mit zwei berühmten Sätzen hat \textit{W. Burnside} die Frage angeschnitten, welche transitiven abelschen Permutationsgruppen \(\mathfrak{H}\) die Eigenschaft haben, daß jede \(\mathfrak{H}\) enthaltende Permutationsgruppe \(\mathfrak{G}\) desselben Grades entweder zweifach transitiv oder zusammengesetzt ist; 1921 glaubte er das Problem allgemein gelöst zu haben [Proc. Camb. Philos. Soc. 20, 482--484 (1921; JFM 48.1148.02)], doch muß sein Versuch, wie in der vorliegenden Arbeit gezeigt wird, als mißglückt angesehen werden. Einen neuen Anstoß gab \textit{I. Schur}s Untersuchung ``Zur Theorie der einfach transitiven Permutationsgruppen'' [Sitzungsber. Preuß. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl. 1933, No. 18--20, 598--623 (1933; Zbl 0007.14903; JFM 59.0151.01)], in der mit einer neuen, die Gruppencharaktere nicht benutzenden Methode die genannte Eigenschaft für alle zyklischen Gruppen \(\mathfrak{H}\) nachgewiesen wurde; dieses Resultat umfaßt die Burnsideschen Sätze. 1935 kam der Fall hinzu, daß mindestens eine \textit{Sylow}gruppe von \(\mathfrak{H}\) zyklisch ist [\textit{H. Wielandt}, Math. Z. 40, 582--587 (1935; Zbl 0012.34303; JFM 61.1018.04)]. In der vorliegenden Arbeit wird die Frage beantwortet für den Fall, daß \(\mathfrak{H}\) von zwei unabhängigen Elementen der Ordnungen \(p^a\) und \(p^b\) (\(p\) Primzahl) erzeugt wird: Im Fall \(a \ne b\) ist \textit{jede} einbettende Gruppe \(\mathfrak{G}\) entweder zweifach transitiv oder zusammengesetzt und imprimitiv, im Fall \(a = b\) nicht. Der Beweis der Verf. baut die von Burnside entwickelten darstellungstheoretischen Methoden aus; als Imprimitivitätskriterium wird benutzt: Wird ein Element von \(\mathfrak{G}\), das kein Symbol fest läßt, bei einer der in \(\mathfrak{G}\) auftretenden irreduziblen Darstellungen von \(\mathfrak{G}\) auf die Identität abgebildet, so ist \(\mathfrak{G}\) imprimitiv.