Über den Zusammenhang zwischen dem Begriff der Gleichartigkeit zweier Ideale und dem Äquivalenzbegriff der Elementarteilertheorie. (Q2605891)

Neuere Untersuchungen in der Idealtheorie haben ergeben, daß zwar die meisten Zerlegungen der Ideale kommutativer Ringe auch im Nichtkommutativen ein Analogon besitzen, daß aber Zerlegungen, die im Kommutativen nur auf eine einzige Weise möglich sind, im Nichtkommutativen nicht mehr absolut, sondern nur noch bis auf Komponenten von der \textit{gleichen Art} eindeutig bestimmt sind, wobei \textit{Gleichartigkeit} zweier Ideale \(\mathfrak a\) und \(\mathfrak b\) des Ringes \(\mathfrak o\) Isomorphie der zugehörigen Restklassenmoduln \(\mathfrak o |\mathfrak a\) und \(\mathfrak o |\mathfrak b\) bedeutet. Es liegt daher nahe, diesen Begriff genauer zu untersuchen, zumal er auch in anderen Zweigen der Mathematik, z. B. in der Theorie der linearen Differentialgleichungen, eine Rolle spielt. Verf. zeigt in diesem Sinne, daß der Gleichartigkeitsbegriff als natürliche Verallgemeinerung des Äquivalenzbegriffs der Elementarteilertheorie angesehen werden kann. Gilt in dem zugrunde gelegten Ring der Teilerkettensatz, was bei den praktisch vorkommenden Anwendungen immer der Fall sein wird, so sind beide Begriffe sogar im wesentlichen identisch. Die Identität ergibt sich durch Heranziehung einer Basisdarstellung der Restklassenmoduln. Als Nebenresultat ergibt sich u. a. der folgende Satz: Zwei Nichtnullteiler \(a\) und \(b\) eines Ringes \(\mathfrak o\) mit Einselement erzeugen stets dann und nur dann gleichartige Linksideale \(\mathfrak oa\) und \(\mathfrak ob\), wenn die beiden Matrizen \(\left(\begin{matrix} a & 0\\ 0 & 1\end{matrix}\right)\) und \(\left(\begin{matrix} b & 0\\ 0 & 1\end{matrix}\right)\) im Sinne der Elementarteilertheorie äquivalent sind. Erzeugen Nichtnullteiler gleichartige Linksideale, so erzeugen sie auch gleichartige Rechtsideale. Als Spezialfall ist hierin folgender Satz über lineare Differentialgleichungen enthalten: Zwei Differentialgleichungen \[ \begin{aligned} f\left(\frac d{dx}\right)\cdot y&\equiv a_n(x)\frac{d^ny}{dx^n}+ \cdots+a_0(x)\cdot y=0,\\ g\left(\frac d{dx}\right)\cdot y&\equiv b_n(x)\frac{d^ny}{dx^n}+ \cdots+b_0(x)\cdot y=0 \end{aligned} \] mit Koeffizienten aus einem festen Funktionenkörper \(K\) sind dann und nur dann von gleicher Art im Sinne von \textit{Poincaré} (Acta math., Uppsala, 5 (1884), 209-278; F. d. M. 16, 252-257), wenn die beiden Matrizen \[ A=\left(\begin{matrix} f\left(\dfrac{d}{dx}\right) & 0\\ 0 & 1 \end{matrix}\right), \qquad B=\left(\begin{matrix} g\left(\dfrac{d}{dx}\right) & 0\\ 0 & 1 \end{matrix}\right), \] im Sinne der Elementarteilertheorie äquivalent sind, \(f\), \(g\) und die Koeffizienten der invertierbaren Matrizen, welche \(A\) und \(B\) ineinander überführen, sind dabei als Elemente des Polynombereichs \(K\left[\dfrac d{dx}\right]\) mit der Multiplikationsregel \(\dfrac d{dx}\cdot a=a\dfrac d{dx}+a'\) (\(a\) in \(K\)) anzusehen. \(a'\) bedeutet die Ableitung der Funktion \(a\equiv a(x)\). (IV 10.)