Über Modulerweiterung bei Erweiterung des Operatorenbereiches. (Q2605893)

Die Arbeit behandelt das Problem, einen Modul \(\mathfrak m\) mit kommutativem Operatorenring \(\mathfrak o\) zu einem Modul \(\mathfrak M\) zu erweitern, dessen Operatorenring mit einem vorgegebenen Oberring \(\mathfrak O\) von \(\mathfrak o\) übereinstimmt. Die Aufgabe wird zunächst gelöst für den Fall, daß \(\mathfrak o\) nullteilerfrei und \(\mathfrak O\) der Quotientenkörper von \(\mathfrak o\) ist; als notwendig und hinreichend für die Lösbarkeit stellt sich in diesem Falle heraus, daß für \(a\in\mathfrak o\), \(\alpha \in \mathfrak m\) aus \(a\cdot\alpha = 0\) entweder \(a = 0\) oder \(\alpha= 0\) folgt und außerdem zu jedem \(\alpha\in\mathfrak m\) in \(\mathfrak o\) ein \(c\) mit \(c\alpha = \alpha\) existiert. Anschließend wird die Lösung der Aufgabe noch in einigen weiteren Fällen durchgeführt, z. B. dann, wenn \(\mathfrak o\) ein Körper und \(\mathfrak O\) ein Erweiterungskörper endlichen Grades von \(\mathfrak o\) ist, oder dann, wenn \(\mathfrak O\) aus \(\mathfrak o\) durch Adjunktion von endlich vielen Unbestimmten entsteht; unter diesen Voraussetzungen ist die Lösbarkeit -wie sich herausstellt -- an keine einschränkenden Bedingungen geknüpft. Zum Schluß wird noch gezeigt, daß der in den letzten Fällen konstruierte Erweiterungsmodul \(\mathfrak M\) sogar zu einem Ring gemacht werden kann, falls der Ausgangsmodul \(\mathfrak m\) ein Ring ist, wobei insbesondere zwei Spezialfälle: (1) \(\mathfrak m\) Oberring von \(\mathfrak o\), (2) \(\mathfrak m\) nullteilerfrei, ausführlich behandelt werden.