Über Totalnullteiler kommutativer Ringe mit abgeschwächtem U-Satz. (Q2605894)

\(\mathfrak R\) sei kommutativer Ring mit abgeschwächtem U-Satz; d.h. es gelte der Vielfachenkettensatz für die Ideale jedes echten Restklassenrings \(\mathfrak R/\mathfrak a\). Der Totalnullteiler \(\mathfrak t\) von \(\mathfrak R\) ist das Ideal aller \(t\) mit \(\mathfrak R(t)=(0)\). Zunächst wird die Struktur nilpotenter \(\mathfrak R\) im Zusammenhang mit \(\mathfrak t\) untersucht; z. B. ist \(\mathfrak R/\mathfrak t\) endlich. Dann werden diese Ergebnisse auf die Frage angewandt, wann in \(\mathfrak R\) der Teilerkettensatz gilt, und zwar zeigt sich, daß dies bei \(\mathfrak R^2\neq (0)\) dann und nur dann der Fall ist, wenn die Zahl der \(r\), für die \((r)\mathfrak R^k = (0)\) mit irgendeiner natürlichen Zahl \(k\), endlich ist.