Konstruktion von galoisschen Körpern der Charakteristik p zu vorgegebener Gruppe der Ordnung \(p^f\). (Q2605936)

Es sei \(R\) ein Körper der Primzahlcharakteristik \(p\) und \(\mathfrak G\) eine endliche \(p\)-Gruppe. \(N = N (R)\) sei dadurch definiert, daß der additive Gruppenindex \[ (a:a^p - a) = p^N \] ist, wo \(a\) alle Elemente aus \(R\) durchläuft; \(N\) kann auch \(\infty\) sein. \(n = n(\mathfrak G)\) sei als kleinstmögliche Erzeugendenanzahl von \(\mathfrak G\) definiert. Ferner sei \(p^f\) die Ordnung von \(\mathfrak G\) und \(\varOmega\) die Ordnung der Automorphismengruppe von \(\mathfrak G\). Verf. beweist zunächst folgende Sätze: I. Dann und nur dann existiert ein galoisscher Körper \(K/R\) mit zu \(\mathfrak G\) isomorpher Galoisgruppe, wenn \(n\leqq N\) ist. II. Für \(N=\infty\) gibt es für jedes \(\mathfrak G\) unendlich viele solche Körper \(K\); für endliches \(N\) ist ihre Anzahl gleich \[ \frac1{\varOmega}p^{N(f-n)}(p^N-1)(p^N-p)\cdots(p^N-p^{n-1}). \] Um ferner eine konstruktive Übersicht über alle diese Körper \(K\) zu erhalten, betrachtet Verf. die größte abelsche Faktorgruppe \(\mathfrak G/\mathfrak G^*\) vom Exponenten \(p\) und nimmt darin die größte im Zentrum von \(\mathfrak G\) gelegene Untergruppe \(\mathfrak g\) vom Exponenten \(p\). Das ist eine charakteristische Untergruppe von \(\mathfrak G\), und von dem trivialen Fall \(\mathfrak G^* = 1\) abgesehen ist \(\mathfrak g \neq 1\). Es sei \(u_\sigma\) ein Repräsentantensystem der Elemente \(\sigma\) von \(\varGamma=\mathfrak G/\mathfrak g\) und \(g_{\sigma,\tau}\) das zugehörige Faktorensystem: \[ u_\sigma u_\tau=g_{\sigma,\tau}u_{\sigma\tau}. \] Ist dann schon ein galoisscher Körper \(k/R\) mit zu \(\varGamma\) isomorpher Galoisgruppe gefunden, so ergeben sich alle galoisschen Körper \(K/R\) mit zu \(\mathfrak G\) isomorpher Galoisgruppe folgendermaßen: III. Man wähle beliebig: (A) einen Isomorphismus \(\sigma\to s\) von \(\varGamma\) auf die Galoisgruppe von \(k/R\), (B) eine Basis \(\chi^\nu\) für die additiven Charaktere \(\chi\) von \(\mathfrak g\) (Homomorphismen von \(\mathfrak g\) in die Additionsgruppe des Primkörpers der Charakteristik \(p\)), (C) eine Lösung \(\delta^\nu_s\) von \(\chi^\nu(g_{\sigma,\tau})=\delta_s^\nu+s\delta_t^\nu-\delta_{st}^\nu\), (D) eine Lösung \(\gamma^\nu\) von \((\delta^\nu_s)^p \delta_s^\nu = (s - 1)\gamma^\nu\) \noindent und bilde \(K\) durch Adjunktion aller Nullstellen der Gleichungen \(x^p - x = \gamma^\nu\) zu \(k\). Der Isomorphismus von \(\mathfrak G\) auf die Galoisgruppe von \(K/R\) läßt sich dabei noch so wählen, daß er den Isomorphismus (A) fortsetzt. Dieser Mechanismus überträgt sich in multiplikativer Fassung auch auf den Fall eines Grundkörpers \(R\) mit von \(p\) verschiedener Charakteristik, der die \(p\)-ten Einheitswurzeln enthält, nur daß dann das zu (C) analoge Gleichungssystem \[ \chi^\nu(g_{\sigma,\tau})=\frac{\delta_s^\nu(\delta_t^\nu)^s}{\delta_{st}^\nu} \] nicht immer lösbar ist, so daß das Zerfallen der Algebra \((\chi^\nu(g_{\sigma,\tau}), k)\) hier zum Existenzkriterium für \(K\) wird. Verf. gibt weiter an, wie sich die angegebene konstruktive Übersicht im Spezialfall einer zyklischen Gruppe \(\mathfrak G\) darstellt. Für diesen Fall hatte schon \textit{Albert} (Bull. Amer. math. Soc. 40 (1934), 625-631; F. d. M. \(60_{\text I}\), 110) die Konstruktion durchgeführt. Zum Schluß gibt Verf. auf der entwickelten Grundlage eine Konstruktion aller galoisschen Körper \(K\) über einem beliebigen Grundkörper \(R\), deren Galoisgruppe zur Quaternionengruppe isomorph ist.