Theorie der höheren Differentiale in einem algebraischen Funktionenkörper mit vollkommenem Konstantenkörper bei beliebiger Charakteristik. (Q2605939)

\(K\) sei algebraischer Funktionenkörper einer Unbestimmten über einem vollkommenen Konstantenkörper \(k\) der Charakteristik \(p\) (= 0 oder Primzahl). Die Entwicklung eines Elementes \(x\) von \(K\) nach einem Primelement \(\pi\) zu einem Primdivisor \(\mathfrak p\) von \(K\) sei \[ x=\sum_\mu a_\mu \pi^\mu \] mit \(a_\mu\) aus dem lokalen Konstantenkörper für \(\mathfrak p\). Als das \(\varkappa\)-te Differential \(D^{(\varkappa)}x\) wird die Gesamtheit der Entwicklungen \[ D^{(\varkappa)}_\pi x=\sum\binom \mu\kappa a_\mu \pi^{\mu-\varkappa} \] für alle \(\mathfrak p\) und alle zugehörigen \(\pi\) definiert. (Würde man die Differentiale wie gewöhnlich definieren, so erhielte man bei Primzahlcharakteristik für alle Differentiale vom \(p\)-ten an 0.) Entsprechend werden die höheren partiellen Ableitungen eines Polynoms \[ f=f(x,y)=\sum_{m,n}a_{m,n}x^my^n \] mit \(a_{mn}\) aus \(k\) definiert: \[ \varDelta_{\mu,\nu}^{(\mu+\nu)}f= \sum_{m,n}\binom {m}{\mu} \binom {n}{\nu} a_{mn} x^{m-\mu} y^{n-\nu}. \] Sind nun \(x\) und \(y\) Elemente aus \(K\), so wird \(D^{(\varkappa)}f\) durch \(D^{(\varkappa)}x\) und \(D^{(\varkappa)}y\) ausgedrückt. Dies wird angewendet auf den Fall, daß \(K\) über \(k(x)\) separabel und \(f\) ein in \(y\) separables Polynom mit \(f(x, y) = 0\) ist, und so kommt man zu dem Analogon \(D^{(\varkappa)}y\) der höheren Ableitungen von \(y\) nach \(x\), und zwar gilt \[ D^{(\varkappa)}y= \sum_{\substack{ \varrho_1,\ldots,\varrho_\varkappa=0\\ 1\cdot\varrho_1+\cdots+\varkappa\varrho_\varkappa=\varkappa}} ^\varkappa (D_x^{(\varrho_1+\cdots+\varrho_\varkappa)}y) \binom{\varrho_1+\cdots+\varrho_\varkappa} {\varrho_1,\ldots,\varrho_\varkappa} (D^{(1)}x)^{\varrho_1}\cdot (D^{(\varkappa)}x)^{\varrho_\varkappa}. \] Schließlich wird gezeigt: Sind \(y_1,\ldots,y_n\) Elemente aus \(K\), so ist \[ \frac{|D^{(\varkappa)}y_i|}{(dx)^{1+\cdots+n}}= |D^{(\varkappa)}_x y_i|\qquad (i,\varkappa=1,\ldots,n). \]