Differentialrechnung bei Charakteristik \(p\). (Q2605940)

Die Theorie der höheren Differentialquotienten bei Primzahlcharakteristik \(p\) wird hier anders als bei \textit{Hasse} (J. reine angew. Math. 175 (1936), 50-54; vorstehendes Referat) begründet. Die dort wesentlich benützte Voraussetzung, daß der Konstantenkörper \(\varOmega\) vollkommen ist, wird hier weggelassen; der Funktionenkörper \(\boldsymbol K\) muß nur die Form haben: \(\boldsymbol K/\varOmega(x)\) separabel, \(\varOmega(x)/\varOmega\) transzendent. Potenzreihenentwicklungen und Differentiation impliziter Funktionen werden vermieden; dafür wird mehr von algebraischen Dingen Gebrauch gemacht, und die Fälle Primzahlcharakteristik und Charakteristik 0 müssen getrennt behandelt werden (letzterer Fall natürlich in der üblichen Weise). Zur Begründung der Differentialrechnung wird folgende Erzeugungsart von \(\boldsymbol K\) herangezogen: Ist \(\boldsymbol K = \varOmega (x, \vartheta)\) und setzt man \(\varSigma_n=\varOmega(x^{p^n},\vartheta^{p^n})\), so ist \(\boldsymbol K = \varSigma_n (x)\), und \(x\) ist Nullstelle eines über \(\varSigma_n\) irreduziblen Polynoms \(t^{p^n}-\alpha\). Ist nun \(\varSigma_n[t]\) der Polynomring in \(t\) über \(\varSigma_n\), so ist \(\boldsymbol K\cong \varSigma_n(t)/t^{p^n}-\alpha\). Zunächst werden in \(\varSigma[t]\), wo \(\varSigma\) irgend ein kommutativ er Ring mit Einselement sein kann, die höheren Ableitungen nach t so eingeführt: \[ D^k_t\sum_r c_r t^r=\sum_r c_r \binom rk t^{r-k}\qquad (c_r\in \varSigma) \] und es werden die Hauptrechenregeln hergeleitet. -Jetzt sei \(\varSigma\) ein beliebiger Körper der Charakteristik \(p > 0\), \(\boldsymbol K=\varSigma (x)\), \(x\) Nullstelle eines über \(\varSigma\) irreduziblen Polynoms \(t^{p^n}-\alpha\). Durch Restklassenbildung nach \(t^{p^n} - \alpha\) definiert man dann die \(k\)-ten Ableitungen für \(k<p^n\) so: \[ D_x^k f(x)=D_t^k f(t)|_{t=x}. \] Endlich sei \(\varSigma\) einer der obigen Körper \(\varSigma_n\). Ist dann \[ y = \sum_r c_rx^r \qquad (c_r\in\varSigma_n), \] so sei \[ D^k_xy = \sum_r c_r \binom rk x^{r-k} \;\text{fur} \;k<p^n. \] Bei festen \(k\) ist diese Definition unabhängig von \(n\), wenn nur \(p^n > k\) ist. Für diese Ableitungen wird eine Kettenregel bewiesen, in der insbesondere auch die bei \textit{Hasse} (s. o.) bewiesene Formel für die Determinante \(|D^k_x y_i|\) steckt. Die Ableitungen sind also hier ohne den Umweg über die lokalen Ableitungen eingeführt worden. Zum Schluß werden nun noch die expliziten Differentiationsformeln in \(\boldsymbol K_{\mathfrak p}\) für den Fall, daß der Restklassenkörper mod p separabel über \(\varOmega\) ist, aufgestellt, die den Ausgangspunkt bei \textit{Hasse} bildeten.