Note on Waring's problem. (Q2606055)

\(f (m)\) bedeute die Anzahl der Darstellungen von \(m\) als Summe von \(k\) nicht negativen \(k\)-ten Potenzen. Bekanntlich bewiesen \textit{Hardy} und \textit{Littlewood,} daß aus der Hypothese \[ f(m) = O(m^\varepsilon)\quad \text{für jedes positive }\varepsilon \] \(G(k)\leqq4k\) folgt. \textit{Mahler} konnte aber zeigen, daß die \textit{Hardy-Littlewood}sche Hypothese für \(k = 3\) falsch ist; es ist daher wünschenswert, diese Hypothese durch eine schwächere zu ersetzen. \textit{Walfisz} teilte dem Verf. mit, daß bereits die Hypothese \[ {\sum\limits_{1}^{x}} f^2 (m) = O(x^{1+\varepsilon})\quad \text{für jedes positive }\varepsilon \] ausreicht. Verf. gibt eine leichte Verallgemeinerung; er bemerkt nämlich: Wenn eine Zahl \(n=n(k)\) derart existiert, daß \[ {\sum\limits_{1}^{x}} f^2 (m)(x-m)^2 = O(x^{n+1+\varepsilon})\quad \text{für jedes positive }\varepsilon \] so ist \[ G(k)\leqq\operatorname{Max}(2k+1,\varGamma(k)), \] wo \(\varGamma(k)\) das kleinste \(s\) derart bedeutet, daß jede arithmetische Progression unendlich viele Zahlen der Form \(x_1^k +\cdots + x_s^k\) enthält.